2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение23.05.2018, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
worm2 в сообщении #1314313 писал(а):
Хотя... тут ещё можно использовать тот факт (тоже не особенно тривиальный), что сумма $\left|\sum\limits_{k=1}^n \sin k\right|$ ограничена сверху для любого $n$ (есть явная формула) и применить признак Дирихле.
Ну видимо да, это самый простой вариант здесь. Почему-то забыл про этот признак.
Otta в сообщении #1314317 писал(а):
Если $a_n=\beta_n b_n$, и $\beta_n\to 1$, то сходимость $\sum b_n$ не влечет сходимость $\sum a_n$ без предположения о знакопостоянстве (или дополнительных требований к $\beta_n$).
А есть какой-нибудь конкретный (может быть известный) пример, когда в таком случае у ряда из $a_n$ нет сходимости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение23.05.2018, 14:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
ShMaxG в сообщении #1314318 писал(а):
А есть какой-нибудь конкретный (может быть известный) пример, когда в таком случае у ряда из $a_n$ нет сходимости?

Ну например, что придумалось:
$\sum \left(\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n} +\dfrac{1}{n}  \right) $
Общий член эквивалентен первому слагаемому. Но ряд расходится как сумма сходящегося и расходящегося.

Возможно, это и классика, даже очень возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение23.05.2018, 15:48 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Стандартный способ : $a_k = \int\limits_{0}^{\frac{\sin k}{k}} \frac{\sin x}{x} dx=\frac{\sin k}{k}+\int\limits_{0}^{\frac{\sin k}{k}} (\frac{\sin x}{x}-1) dx=\frac{\sin k}{k}+O(\frac{1}{k^3})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение23.05.2018, 16:26 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Otta в сообщении #1314304 писал(а):
Тейлору до главного члена асимптотики подынтегральную функцию, остальное загоняем в о-большое,

А как "брать" интеграл от "О-большого"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение23.05.2018, 16:36 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Лучше уберу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение23.05.2018, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
MestnyBomzh
Вспомните определение $O-$большого

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение23.05.2018, 18:22 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
thething в сообщении #1314347 писал(а):
Вспомните определение $O-$большого

$f$ является «O» большим от $g$ при $ x\to x_0$, если существует такая константа$ C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_{0}$ имеет место неравенство
$ |f(x)| \leqslant C |g(x)|$.
В нашем случае, $\frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} + O(x^2)$. Теперь берем интеграл от $O(x^2)$. Тут я смотрю на определение и понимаю, что если я вместо $O(x^2)$ подставлю, например, $x^2$, то получу снова некоторую оценку сверху. В то же время, выше обсуждалось, что нам бессмысленны какие-либо оценки сверху/снизу..

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение23.05.2018, 18:38 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
MestnyBomzh в сообщении #1314368 писал(а):
В то же время, выше обсуждалось, что нам бессмысленны какие-либо оценки сверху/снизу..

Оценки отношения и разности ведут себя по разному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение23.05.2018, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
MestnyBomzh
Во-первых, второе слагаемое уже лишнее, а во-вторых, вы можете оценить модуль интеграла от О-большого величиной $\frac{C}{k^3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение24.05.2018, 10:27 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
thething в сообщении #1314374 писал(а):
Во-первых, второе слагаемое уже лишнее

Ну да, там его можно тоже запихнуть в $O(x^2)$. Окей, тогда получаем:
$\frac{\sin x}{x} = 1+ O(x^2)$. С первым слагаемым всё ок, там будет сходящийся ряд. Теперь берем интеграл от $O(x^2)$.
Тогда $|\int\limits_{0}^{\varepsilon} O(x^2) dx | <  \frac{\varepsilon^3}{3}$
Так верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение24.05.2018, 11:26 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
$100x^2=O(x^2)$ - проверьте

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение24.05.2018, 12:21 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Null в сообщении #1314537 писал(а):
$100x^2=O(x^2)$ - проверьте

Возьмем $C = 101$, тогда верно, что $|100x^2| < |101 x^2|$. Значит $100x^2 \in O(x^2)$

-- 24.05.2018, 13:24 --

В интеграле я рассуждал аналогично, подынтегральная функция является О большим от $x^2$, значит по модулю всяко меньше, чем $C \cdot x^2$
$|\int\limits_{0}^{\varepsilon} O(x^2) dx | < |\int\limits_{0}^{\varepsilon} C x^2 dx |  =  C \cdot \frac{\varepsilon^3}{3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение24.05.2018, 12:47 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Это называется $O(\varepsilon^3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение24.05.2018, 13:40 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Да, то есть в нашем случае это $O ( \frac{\sin^3 k}{k^3} )$
Тогда $\sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k| < C \sum\limits_{k=1}^{\infty} | \frac{\sin^3 k}{k^3} | $. Последний ряд сходится абсолютно, а значит сходится абсолютно и $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$, а значит и сходится исходный ряд.
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды с отрицательными и положительными элементами
Сообщение24.05.2018, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Неверно. Исходный ряд абсолютно не сходится, ибо превратился в сумму двух рядов, один из которых сходится лишь условно, а второй -- абсолютно.

-- 24.05.2018, 15:54 --

Если, конечно под этим
MestnyBomzh в сообщении #1314565 писал(а):
а значит сходится абсолютно и $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$

Вы имели ввиду исходный ряд

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group