О связности на римановом многообразии

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги, совсем замучился над следующим вопросом и потому обращаюсь за помощью к Вам. Пусть $D$ -- область на римановом многообразии ${\Bbb M}^n,$ $n\geqslant 2,$ такая, что $\overline{D}\subset {\Bbb M}^n$ и $\overline{D}\ne {\Bbb M}^n.$ Пусть $a, b, c$ и $d$ -- произвольные различные точки области $D.$ Необходимо доказать, что существуют две непересекающиеся между собой кривые $\gamma_1(t):[0, 1]\rightarrow D$ и $\gamma_2(t):[0, 1]\rightarrow D$ такие, что $\gamma_1(0)=a,$ $\gamma_1(1)=b,$ $\gamma_2(0)=c,$ $\gamma_2(1)=d.$

Я предполагаю, что результат верен и геометрически практически очевиден. Дело лишь в строгом доказательстве - с этим есть проблемы; при $n=2$ утверждение к случаю плоскости элементарных редукций к ${\Bbb R}^2,$ видимо, не содержит (или я ошибаюсь ?). Может ли кто-то что-нибудь подсказать ? Также хотел бы отметить, что утверждение при $n\geqslant 3$ очевидно, так как согласно книги Гуревич-Вальман "Dimension Theory" множества топологической размерности 1 не разбивают никакое трёхмерное многообразие. Заранее благодарен за Ваше мнение !

[g______d]

Пусть $n=2$.

1) Существует простая гладкая кривая $C_1$ (одномерное гладкое подмногообразие), соединяющая $a$ и $b$.

2) Для любого $\varepsilon>0$, существует область $D_1$, такая что $C_1\subset D_1\subset B_{\varepsilon}(C_1)$ (последнее обозначение -- $\varepsilon$-окрестность), причём $\partial D_1$ -- гладкая замкнутая кривая. Выберем $\varepsilon$ так, чтобы $c,d\notin\overline{D_1}$.

3) Пусть $\gamma\colon [0,1]\to \mathbb M^2$ -- какая-то кривая, соединяющая $c$ и $d$. Пусть $U=\gamma^{-1}(D_1)$. Ясно, что $U$ является открытым подмножеством $(0,1)$, поэтому представляет собой объединение не более чем счётного количества непересекающихся открытых интервалов. Пусть $(x,y)$ -- один из таких интервалов. Ясно, что $\gamma(x),\gamma(y)\in \partial D$. Поэтому можно заменить соответствующий кусок кривой $\gamma$ на кусок границы $\partial D$, соединяющий $x,y$.

[Evgenii2012]

Уважаемый g______d, большое спасибо за Ваше мнение. Пункт 2) Ваших рассуждений есть не что иное, как переформулировка того, что следует доказать. Естественно, у меня было готово подобное доказательство ещё до того, как я обратился на форум. Весь вопрос лишь в том, как получить пункт 2), а именно, почему Вы имеете право выбрать область $D_1$ с линейно связной границей. Почему такая область $D_1$ должна быть, чем обосновать существование такой области ? У меня на данный момент нет ни одного строгого обоснования, к сожалению. Всё остальное тривиально, разумеется

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1313581 писал(а):

Почему такая область $D_1$ должна быть, чем обосновать существование такой области ?

https://en.wikipedia.org/wiki/Tubular_neighborhood

[Evgenii2012]

Я думал изначально взять в качестве $D_1$ как раз конечное покрытие кривой $C_1$ конечным числом шаров (по лемме Гейне-Бореля-Лебега всегда можно перейти к такому конечному числу). В Ваших обозначениях это и есть что-то вроде $B_{\varepsilon}(C_1).$ Границей такой области будет, на первый взгляд, связное множество, хотя на многообразии данный факт сам по себе непросто установить. Впрочем, такой подход сам по себе вызывает у меня большие сомнения. Дело в том, что если кривая $C_1$ имеет хотя бы одну петлю, внутри которой содержится ровно одна из точек $c$ или $d,$ Вы уже не можете так "рассуждать", а нужны какие-то дополнительные условия на данную кривую $C_1$

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1313583 писал(а):

Дело в том, что если кривая $C_1$ имеет хотя бы одну петлю

Я специально написал "гладкая простая кривая".

[Evgenii2012]

g______d, большое спасибо за информацию. Скажите, пожалуйста, кроме статьи в википедии есть какая-нибудь литература, точная ссылка, либо хотя бы какие-то результаты на эту тему ? Есть где-нибудь публикация с установленным фактом, что граница данного множества может быть выбрана связной ? Мне хотелось бы либо найти строгое доказательство, либо строго доказать самому этот факт, поскольку, как я писал выше, наводящие соображения у меня имелись ещё до обращения к Вам.

Хотел бы заметить, что я, к сожалению, не являюсь специалистом по разным расслоениям, поэтому собственное доказательство с использованием подобных вещей для меня вряд ли возможно. Смогли бы Вы как-то сориентировать меня, учитывая, что я не являюсь прямым специалистом ? Заранее благодарен за Ваше мнение !

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1313589 писал(а):

Хотел бы заметить, что я, к сожалению, не являюсь специалистом по разным расслоениям, поэтому собственное доказательство с использованием подобных вещей для меня вряд ли возможно. Смогли бы Вы как-то сориентировать меня, учитывая, что я не являюсь прямым специалистом ? Заранее благодарен за Ваше мнение !

Ну понимаете, моё мнение состоит в том, что определение трубчатой окрестности, на которое я привёл ссылку, вполне доступно второкурснику мехмата, прослушавшему базовый курс дифференциальной геометрии. Никаким "прямым специалистом по разным расслоениям" для этого быть не нужно. Просмотрите, для начала, начало раздела 5 главы 4 книги Хирша "Дифференциальная топология" и убедитесь, что определение трубчатой окрестности -- это то, что нужно (или то, что нужно, с небольшими модификациями). Существование этой окрестности -- это теорема 6.3 из той же книжки.

Википедия, между прочим, на эту книгу и ссылается.

[Evgenii2012]

Спасибо за Ваше мнение, g______d, и отдельно - за книгу. Открыл, начал изучать. Трудности те же - никаких убедительных указаний на то, что трубчатая окрестность имеет связную границу, пока, к сожалению, не выявлено. Может быть, Вы подскажете, откуда это следует ? (Заранее прошу прощения за мою излишнюю настойчивость). К сожалению, я не учился никогда на мехмате МГУ, а в моём университете курс дифференциальной геометрии - это было нечто иное, нежели то, что Вы имеете в виду )

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1313595 писал(а):

Трудности те же - никаких убедительных указаний на то, что трубчатая окрестность имеет связную границу, пока, к сожалению, не выявлено.

Я постараюсь подсказать, если будут убедительные попытки решения именно этого вопроса с Вашей стороны.

[Evgenii2012]

Уважаемый g______d, я к сожалению пока не имею никаких идей по поводу доказательства. Может быть, Вы хотя бы подскажете, в каком направлении следует думать ? Определение трубчатой окрестности даётся через векторное расслоение, и я бы не сказал, что неспециалисту так легко понять, что это за объект. На первый взгляд, чистая абстракция, и как из неё можно извлечь то, что требуется - непонятно. Может быть, есть какие-то более доступные пути решения данного вопроса ?

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1313749 писал(а):

Определение трубчатой окрестности даётся через векторное расслоение, и я бы не сказал, что неспециалисту так легко понять, что это за объект.

Слово "окрестность" в определении должно наводить на мысль, что это окрестность. Диффеоморфная некоторому расслоению. В данном случае -- тривиальному расслоению, т. е. прямому произведению $C_1\times (0,1)$. А её граница можно догадаться, как устроена -- как $C_1\times \{0\}\cup C_1\times \{1\}$, плюс две кривые, гомеоморфные $[0,1]$. Вы на картинку из википедии смотрели?



Неужели ни на какие мысли не наводит?

Evgenii2012 в сообщении #1313749 писал(а):

Может быть, есть какие-то более доступные пути решения данного вопроса ?

Может быть. Но это одна из базовых конструкций дифференциальной топологии, которую в любом случае полезно знать.

[Evgenii2012]

g______d, я ещё раз благодарю Вас за ответ. Я не вполне понял только одно, почему наша окрестность диффеоморфна $C_1\times (0, 1)$ (всё остальное в Ваших рассуждениях достаточно очевидно). Где именно в определении трубчатой окрестности спрятан этот факт ? Вы не могли бы указать страницы в книге, которые следует посмотреть ? Заранее благодарен !

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1313759 писал(а):

Где именно в определении трубчатой окрестности спрятан этот факт ?

В том, что любое гладкое векторное расслоение (точнее, его тотальное пространство, т. е. $E$ в обозначении Хирша) над $C_1$ с одномерным слоем диффеоморфно $C_1\times \mathbb R$ и, следовательно, $C_1\times (0,1 )$.

[Evgenii2012]

Большое спасибо, g______d, я хотел бы для окончательного закрытия этого вопроса разобраться, откуда следует гомеоморфность $E$ пространству $C_1\times {\Bbb R}$ . Может, этот факт очевиден, а я просто не вижу ? Вот мои соображения. 1) Если обратиться к теореме 4.3 главы 4 из Хирша, то там расслоение должно быть ориентируемо. Так ли это в нашем случае, другими словами, законно ли применение теоремы 4.3 ? В определении трубчатой окрестности речь не идёт об ориентируемом расслоении. 2) На этом пути также у меня была мысль применить лемму 1.1 главы 4, однако, здесь идёт о расслоении $\xi=(p, E, B\times I),$ в то же время, в нашем случае расслоение имеет другой вид $\xi=(p, E, B).$ Можем ли мы извлечь гомеоморфность пространства $E$ пространству $C_1\times {\Bbb R}$ прямо из этой леммы 1.1 ? 3) У меня постоянно возникает вопрос, что в нашем конкретном случае играет рот\ль пространства $E.$ Для нашего случая пространство $E$ есть некое абстрактное пространство, либо это есть некое вполне конкретное множество ? Буду благодарен Вам за Ваше мнение !