Вычислить интеграл Лебега

[hollo]

Задана функция Хевисайда

$$\chi(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x \leqslant 0$;}\\ 1,&\text{если $x > 1$.} \end{cases}$$

Вычислить интеграл Лебега
$\int\limits_{[-1,1]}^{}\chi(x-\frac{1}{2})\chi(x+\frac{1}{2})d\chi(x)$

Первый раз делаю подобный номер, решил сначала найти произведение $\tau(x)=\chi(x-\frac{1}{2})\chi(x+\frac{1}{2})$

$$\tau(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x\leqslant -\frac{1}{4}$;}\\ 1,&\text{если $x>-\frac{1}{4}$.} \end{cases}$$

Дальше вносить под дифференциал $(x^2-\frac{1}{4})$ и брать интеграл?
$\frac{1}{2}\int\limits_{[-1,1]}^{}...=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \mu((-\frac{1}{4},1])=-\frac{1}{4}$

[Otta]

hollo в сообщении #1313463 писал(а):

$$\tau(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x\leqslant -\frac{1}{4}$;}\\ 1,&\text{если $x>-\frac{1}{4}$.} \end{cases}$$

Откуда оно?

hollo в сообщении #1313463 писал(а):

Дальше вносить под дифференциал $(x^2-\frac{1}{4})$

А где Вы это возьмете? Выбросив значок $\chi$?

-- 19.05.2018, 19:33 --

И функцию Хевисайда запишите правильно.

[hollo]

Otta в сообщении #1313469 писал(а):

Откуда оно?

Я делал так:

$$\chi(x-\frac{1}{2})=\begin{cases} 0,&\text{если $x \leqslant \frac{1}{2}$;}\\ 1,&\text{если $x > \frac{1}{2}$.} \end{cases}$$

$$\chi(x+\frac{1}{2})=\begin{cases} 0,&\text{если $x \leqslant -\frac{1}{2}$;}\\ 1,&\text{если $x > -\frac{1}{2}$.} \end{cases}$$

И перемножил иксы, для которых функция равно $0$, получил $-\frac{1}{4}$. Тоже самое сделал и для единицы. В правильности не уверен.

Otta в сообщении #1313469 писал(а):

А где Вы это возьмете? Выбросив значок $\chi$?

А об этом я забыл...

Otta в сообщении #1313469 писал(а):

И функцию Хевисайда запишите правильно.

Записал один в один, как в формулировке задания.

[Otta]

hollo в сообщении #1313479 писал(а):

Записал один в один, как в формулировке задания.

Посмотрите еще раз и сверьте.

hollo в сообщении #1313479 писал(а):

И перемножил иксы, для которых функция равно $0$, получил $-\frac{1}{4}$. Тоже самое сделал и для единицы. В правильности не уверен.

Вам иксы перемножать надо или функции?

[hollo]

Otta в сообщении #1313491 писал(а):

Посмотрите еще раз и сверьте.

Посмотрел и сверил, переписано из задания верно. Другое дело, что в интернете есть другое определение этой функции.

Otta в сообщении #1313491 писал(а):

Вам иксы перемножать надо или функции?

Функции

[Otta]

Так и будем по слогам разговаривать.
Несите другое определение, тем более, что Вашим Вы не пользуетесь. Перемножайте функции. Смотрите теорию, как считать интеграл. Считайте. Все сначала.

[hollo]

Otta

$$\chi(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x \leqslant 0$;}\\ 1,&\text{если $x > 0$.} \end{cases}$$

После умножения

$$\chi(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x \leqslant -\frac{1}{2}$;}\\ 1,&\text{если $x >\frac{1}{2}$.} \end{cases}$$

Тут не уверен, что $\chi$ именно от $(x)$

Если все таки от $(x)$, то интеграл равен $\frac{1}{2}$

[thething]

hollo в сообщении #1313508 писал(а):

После умножения

$$\chi(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x \leqslant -\frac{1}{2}$;}\\ 1,&\text{если $x >\frac{1}{2}$.} \end{cases}$$

Пардон, что вмешиваюсь, но что происходит между точками $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$?

-- 20.05.2018, 06:58 --

Вообще, нарисуйте картинки, прям друг под другом и перемножьте эти функции. И ещё, приведите формулу, по которой считаете интеграл.

[hollo]

thething в сообщении #1313574 писал(а):

Пардон, что вмешиваюсь, но что происходит между точками $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$?

Тоже равна нулю.

thething в сообщении #1313574 писал(а):

И ещё, приведите формулу, по которой считаете интеграл.

$$\int\limits_{A}^{}f(x)d\mu = \sum\limits_{n}^{}y_n \mu(A_n)$$

где
$y_1...y_n...$ некоторые значения, которые принимает простая функция $f$, $A_n=\left\lbrace x: x\in A, f(x) = y_n \right\rbrace $$

И еще такой вопрос при умножении $\chi(x-\frac{1}{2}) \cdot \chi(x + \frac{1}{2})$ получаем
$\chi(x)$ ? Или аргумент получается уже другой?

[thething]

А Вас не смутило, что интеграл берется не по обычной мере, а по мере, порожденной функцией скачков $\chi (x)$? Поищите в своих лекциях формулу, учитывающую именно разрывы и скачки этой функции.

-- 20.05.2018, 10:11 --

hollo в сообщении #1313584 писал(а):

И еще такой вопрос при умножении $\chi(x-\frac{1}{2}) \cdot \chi(x + \frac{1}{2})$ получаем
$\chi(x)$ ? Или аргумент получается уже другой?

Да их в принципе не нужно перемножать даже (в смысле искать общий вид этого произведения). Достаточно вычислять интеграл по правильной формуле.

[hollo]

thething в сообщении #1313587 писал(а):

Поищите в своих лекциях формулу, учитывающую именно разрывы и скачки этой функции.

Еще не дошли пока. Начал разбирать сам. Эта функция простая, значит должно быть что-то такое:
$0\cdot ... + 1 \cdot \chi(x)_{[\frac{1}{2},1]}$?

[thething]

hollo
Это -- функция скачков, а значит мера, порожденная ею является дискретной. Даже больше того -- вся мера сосредоточена в точках разрыва функции $\chi (x)$. А значит интеграл от любой функции $f(x)$ по такой мере равен $\sum\limits_{}^{}f(x_n)h_n$, где сумма берется по всем указанным точкам разрыва $x_n$, $h_n$ -- величина соответствующих скачков.

[hollo]

thething
Спасибо большое за объяснение!
Правильно ли я понимаю, что интеграл Лебега берется по обычной мере, а интеграл Лебега-Стилтьеса по мере, порожденной функцией. На этом различия заканчиваются?

Формула вычисления интеграла Лебега-Стилтьеса $\int\limits_{a}^{b} f(x) dF(x)$ в случае, когда $F$ функция скачков - сводится к сумме $\sum\limits_{i}^{}f(x_i)h_i$ , где $x_i$ точки разрыва функции $F$(то есть той, по которой интегрируем), а $h_i$ скачки $F$ в точках $x_i$

Тк в данном случае интеграл берется по мере $\chi(x)$, то точка разрыва одна и это $0$

$f(0)=0$(произведение двух функций $\chi(x-\frac{1}{2})\chi(x+\frac{1}{2})$ в точке $0$)
Величина скачка функции $\chi(x)$ в точке $0$ равна $1$

В итоге получаем, что интеграл равен нулю.

UPD

[Mishka_Barni]

Ответ не верный. Надо понять только, что за мера по которой вы считаете интеграл. Начинается на Д 6 букв, сосредоточенная в нуле.

[thething]

hollo
Перечитайте, пожалуйста, внимательнее, то, что я писал и о каких именно точках разрыва говорил.