Исследовать интеграл на сходимость

[savlabeay]

Исследовать интеграл на сходимость
$\int\limits_{2}^{+\infty}(\cos\frac{2}{x}-1)dx$

Мой вариант решения:

Делаю замену: $\frac{1}{x}=t$, $dt=\frac{-dx}{x^2}$, $t_1=\frac{1}{2}$, $t_2=0$, тогда
$\int\limits_{0}^{0,5}\frac{(\cos(2t)-1)dt}{t^2}=\int\limits_{0}^{0,5}\frac{\cos(2t)dt}{t^2}-\int\limits_{0}^{0,5}\frac{dt}{t^2}$, где второй интеграл стремится к бесконечности, значит интеграл расходится. Так?

[mihaild]

Нет, не так - есть же еще первый интеграл.
Аналогично: $\int\limits_{0}^{1} 0 dx = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x} dx - \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$, где второй интеграл расходится - так что, исходный интеграл тоже расходится?

[thething]

Проще же применить предельный признак сравнения, используя эквивалентность подынтегральной функции

[savlabeay]

mihaild в сообщении #1313205 писал(а):

Нет, не так - есть же еще первый интеграл.
Аналогично: $\int\limits_{0}^{1} 0 dx = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x} dx - \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$, где второй интеграл расходится - так что, исходный интеграл тоже расходится?

Да, понял, что не так. Попробовал вот так:
$\int\limits_{2}^{+\infty}(\cos(\frac{2}{x})-1)=\int\limits_{\infty}^{2}(1-\cos(\frac{2}{x}))$, где подынтегральную функцию распишем, как:
$f(x)=2\sin^2(1/x)$, исследуем вблизи точки $A\to\infty$ (используем признак сравнения) $2\sin^2(1/x)\sim\frac{2}{x^2}$ где эталонный интеграл сходится. Значит и сходится исходный интеграл?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - уберите множественные внутренние доллары.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»