2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение18.05.2018, 15:52 


16/05/15
30
Исследовать интеграл на сходимость
$\int\limits_{2}^{+\infty}(\cos\frac{2}{x}-1)dx$

Мой вариант решения:

Делаю замену: $\frac{1}{x}=t$, $dt=\frac{-dx}{x^2}$, $t_1=\frac{1}{2}$, $t_2=0$, тогда
$\int\limits_{0}^{0,5}\frac{(\cos(2t)-1)dt}{t^2}=\int\limits_{0}^{0,5}\frac{\cos(2t)dt}{t^2}-\int\limits_{0}^{0,5}\frac{dt}{t^2}$, где второй интеграл стремится к бесконечности, значит интеграл расходится. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение18.05.2018, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2422
Москва
Нет, не так - есть же еще первый интеграл.
Аналогично: $\int\limits_{0}^{1} 0 dx = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x} dx - \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$, где второй интеграл расходится - так что, исходный интеграл тоже расходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение18.05.2018, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
956
Антарктика
Проще же применить предельный признак сравнения, используя эквивалентность подынтегральной функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение18.05.2018, 17:14 


16/05/15
30
mihaild в сообщении #1313205 писал(а):
Нет, не так - есть же еще первый интеграл.
Аналогично: $\int\limits_{0}^{1} 0 dx = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x} dx - \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$, где второй интеграл расходится - так что, исходный интеграл тоже расходится?


Да, понял, что не так. Попробовал вот так:
$\int\limits_{2}^{+\infty}(\cos(\frac{2}{x})-1)=\int\limits_{\infty}^{2}(1-\cos(\frac{2}{x}))$, где подынтегральную функцию распишем, как:
$f(x)=2\sin^2(1/x)$, исследуем вблизи точки $A\to\infty$ (используем признак сравнения) $2\sin^2(1/x)\sim\frac{2}{x^2}$ где эталонный интеграл сходится. Значит и сходится исходный интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.05.2018, 17:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15356
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - уберите множественные внутренние доллары.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.05.2018, 17:53 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15356
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group