Возрастающий многочлен на отрезке

[alisa-lebovski]

Пусть имеется возрастающий многочлен $f(x)=a_1x_1+\dots+a_nx^n$ на отрезке $[0,1]$, такой что $f(0)=0$, $f(1)=1$. Найти ограничения по модулю для его коэффициентов вида $0\le a_1\le c_1$; $|a_i|\le c_i$, $2\le i\le n$. При $n=2$ получается $c_1=2$, $c_2=1$, и это просто. При $n=3$ у меня получилось $c_1=9$, $c_2=6$, $c_3=4$, и это было непросто (и не уверена, правильно ли), исходила из неотрицательности производной, это квадратичная функция. Но как быть в общем случае? Не обязательно точные верхние границы, хотя бы оценки сверху.

[grizzly]

alisa-lebovski в сообщении #1312779 писал(а):

При $n=3$ у меня получилось $c_1=9$

Выглядит сомнительно. Было бы интересно посмотреть на любой пример с $a_1>3$.

[Mishka_Barni]

Можно попробовать оценить линейные комбинации коэффициентов, если ввести $F(x):=f(x/2+1/2)$.
Надо $F'$ представить в виде линейной комбинации $F'=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\lambda_k T_k$, где $T_k$ -- многочлены Чебышева первого рода. Для коэффициентов неотрицательных многочленов такого вида на $[-1,1]$ есть точное неравенство (надо только разделить на $\lambda_0$, что естественно).
Кроме того, если $\lambda_0=0$, то $F'\geqslant0$ на $[-1,1]\iff\lambda_k=0$, $k=1,\ldots n-1$.
Муторный способ, однако)

Ещё можно попробовать получить оценки из представлений (Лукача ?) для $f'$:

$$ f'(x):=\left(\sum\limits_{k=0}^\nu c_k x^k\right)^2+(1-x)x\left(\sum\limits_{k=0}^{\nu-1} b_k x^k\right)^2, $$

если $n-1=2\nu$, и

$$ f'(x):=x\left(\sum\limits_{k=0}^\nu c_k x^k\right)^2+(1-x)\left(\sum\limits_{k=0}^{\nu} b_k x^k\right)^2, $$

если $n-1=2\nu+1$.

[grizzly]

Mishka_Barni
Подскажите, пжл, это пока только теория или можно получить какие-то простые оценки для $a_1$ в случае $n=3?$ (Задача показалась интересной, но я пока поленился вникнуть в Ваш метод.)

[Mishka_Barni]

Это подход для произвольного $n$, не самый лучший. По сути я перешёл от неотрицательных алгебраических многочленов к тригонометрическим. Для последних можно применить неравенство Фейера. Т. е. можно оценить линейные комбинации коэффициентов $a_k$.

grizzly в сообщении #1312837 писал(а):

можно получить какие-то простые оценки для $a_1$ в случае $n=3?$

Для $n=3$, по моему (не проверял), можно вообще все такие многочлены описать.

[Sender]

grizzly в сообщении #1312815 писал(а):

Выглядит сомнительно. Было бы интересно посмотреть на любой пример с $a_1>3$.

Вот что выдаёт вольфрам в ответ на

Maximize[{Abs[#],MinValue[{a1+2*a2*x+3*a3*x^2,0<=x<=1},{x},Reals]>=0 && (a1+a2+a3==1)},{a1,a2,a3},Reals]&/@{a1,a2,a3}

:

{{4,{a1->4,a2->-6,a3->3}},{3+2 Sqrt[3],{a1->4+2 Sqrt[3]+1/2 (-4-2 Sqrt[3])-1/2 Sqrt[-3+6 (-3-2 Sqrt[3])+(-3-2 Sqrt[3])^2],a2->-3-2 Sqrt[3],a3->1/2 (4+2 Sqrt[3])+1/2 Sqrt[-3+6 (-3-2 Sqrt[3])+(-3-2 Sqrt[3])^2]}},{4,{a1->3,a2->-6,a3->4}}}

[grizzly]

Sender
Здорово, спасибо!

Разрыв шаблона: конечно, уже для многочлена третьей степени первая производная может обнуляться внутри интервала (для больших степеней я это сообразил, а здесь проморгал -- думал, что только в точке 1). Тем интереснее :)

[kotenok gav]

(Оффтоп)

Null, куда вы пост утащили?

[grizzly]

Тогда есть смысл искать в общем случае такие многочлены для произвольного $n$, первые производные которых имеют $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$ пар кратных корней на интервале. Для чётных $n$ последний некратный корень будет в точке 1. От этого пока далеко до общего вида, но хотя бы добавляет понимания.

-- 17.05.2018, 13:43 --

И это пока только для $a_1$ (может и не только, я не уверен).

[grizzly]

По этой логике могу предположить, что при $n=4$ коэффициент $a_1$ будет максимальным на многочлене $6x-15x^2+16x^3-6x^4$.

Если так, то пока для $a_1$ получается последовательность чётных натуральных.

[Mishka_Barni]

При $n=3$ вроде бы всё выписывается. У меня получилось, что $0\leqslant a_1\leqslant 4$, $-(3+2\sqrt 3)\leqslant a_2\leqslant 3$, $-2\leqslant a_3\leqslant 4$. Максимум $a_1$ принимает на многочлене: $3x^3-6x^2+4x$. Если не допустил ошибку

(Оффтоп)

а что вольфрам выдаёт в ответ не совсем понял

[grizzly]

Mishka_Barni в сообщении #1312915 писал(а):

а что вольфрам выдаёт в ответ не совсем понял

Для $a_1$ -- то же.

[Sender]

Mishka_Barni в сообщении #1312915 писал(а):

а что вольфрам выдаёт в ответ не совсем понял

Для каждого из коэффициентов a1, a2, a3 максимум его модуля и соответствующие значения всех коэффициентов многочлена, на котором он достигается. В общем, всё согласуется с вашим результатом.

[Mishka_Barni]

Спасибо. Теперь разобрал.

[alisa-lebovski]

Ну вот, значит, я только $c_3$ правильно определила. Запуталась в неравенствах. На самом деле мне достаточно грубой оценки, даже на модули всех сразу коэффициентов. Нужно это для схемы перебора всех таких многочленов (с мелким шагом по каждому коэффициенту), при этом лишние (не возрастающие) все равно будут отбраковываться, но зато важно не упустить существующие.