Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус

[misha.physics]

EUgeneUS, да, спасибо. Это очень важно. Я где-то понимал это. И все же удивительно получается.

[arseniiv]

Тут ведь как: теория размерностей в своём обычно встречающемся составе говорит, что некоторые выражения обязательно корректны, если в них входят другие корректные. Она не говорит, что все остальные будут при этом обязательно некорректны. Потому она допускает, например, введение нового класса размерностей такого, чтобы для всевозможных эквивалентных выражений с логарифмами (типа $\ln a - \ln b$ и $\ln\frac ab$) стали получаться одинаковые размерности.

И вообще размерности — это не вещь в себе, это просто (часто довольно сильное) упрощение накладываемых фундаментальной теорией ограничений, когда от формулировки этой теории оставляют голые числа — чтобы уж хоть какую-то защиту от ошибок оставить. Пример: если аккуратно сформулировать, скажем, механику, то точки, векторы перемещения, векторы скорости и «векторы» угловой скорости окажутся все из разных математических пространств, и для них потому не будет определено сложение одного с другим, и приписывать им сверху ещё и какие-то размерности для отсутствия разрешения будет совсем не обязательно. Но если мы выберем везде по базису (для точек — систему координат), то от наших принципиально разной природы объектов останутся одинаковые наборы координат, и если мы решим забыть об остальном, то логично будет хотя бы ввести набор правил для хоть какого-то контроля операций, вот выбор в подобном случае почти всегда и падает на классические размерности — они всем известны, очень просты, но для многого их при этом достаточно.

[Walker_XXI]

misha.physics в сообщении #1312484 писал(а):

Но как связать между собой выражения:

$$U=-C_1\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)-\frac{C_1}{2}$$

и:
$U=-C_1\ln{\Big(\frac{\beta r_+}{C_1}+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}\Big)$

?

С помощью размерной константы, которую, как мне кажется, Вы потеряли. Строго говоря, первое выражение у Вас ошибочно, поскольку Вы складываете величины разной размерности: величина $\ln{r}$ не безразмерна, а у Вас, грубо говоря, $C_1\ln{r}+C_1$. Не хватает слагаемого размерности $C_1\ln{r}$. Чтобы избежать путаницы с размерностями и логарифмами размерных величин, предпочтительно обезразмеривать соответствующие параметры в уравнениях, как Вы это сделали при втором способе решения.

[misha.physics]

arseniiv, спасибо. Не все понял, но вижу, что тема важная и её часто упускают из рассмотрения. Что-то не припомню, чтобы в школе и университете об этом рассказывали.

-- 17 май 2018, 18:27 --

Walker_XXI,

Цитата:

Чтобы избежать путаницы с размерностями и логарифмами размерных величин, предпочтительно обезразмеривать соответствующие параметры в уравнениях, как Вы это сделали при втором способе решения.

Вот это меня и беспокоит. Вы говорите, что "предпочительно обезразмеривать чтобы не возникало путаницы". Но это как бы означает, что этого делать необязательно. Вторым способом все получается, да. Просто мне было интересно, можно ли получить "правильный ответ" первым способом.

И ещё интересно, что я не вижу, где я мог потерять размерную константу. Я несколько раз проводил вычисления. Кстати, мы ведь можем сказать, что $r$ безразмерно. Это ведь не повлияет на выкладки, правда? С размерностью будет все в порядке, но все равно, как можно связать между собой обе формулы я пока не вижу.

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1312950 писал(а):

И ещё интересно, что я не вижу, где я мог потерять размерную константу.

У Вас в первом и втором варианте константы интегрирования $m$ - разные.
Если их найти через граничные условия ($g(r_+)=0$) и подставить в выражения для $g(r)$, то получится одинаковый результат.

Но Вы в обоих случаях полагаете $M=\frac{m}{8}$, так как $m$ - разные, то и $M$ разные. И не удивительно, что частные производные оказались разными.

[misha.physics]

EUgeneUS, спасибо.
Значит у меня получается два выражения для $U$, которые никак нельзя свести друг к другу, даже используя одинаковые граничные условия на потенциал $U$? Как же тогда выбрать из них что-то одно? То, что "нам нужно"?

Все-таки, это меня немного удивляет. Диф. уравнение одно и то же. Условие для нахождение $m$ одно и то же. А потом дальнейшие вычисления дают разные результаты

[Someone]

misha.physics в сообщении #1312967 писал(а):

EUgeneUS, спасибо.
Значит у меня получается два выражения для $U$, которые никак нельзя свести друг к другу, даже используя одинаковые граничные условия на потенциал $U$?

EUgeneUS в сообщении #1312964 писал(а):

У Вас в первом и втором варианте константы интегрирования $m$ - разные.
Если их найти через граничные условия ($g(r_+)=0$) и подставить в выражения для $g(r)$, то получится одинаковый результат.

[arseniiv]

(Оффтоп)

misha.physics в сообщении #1312950 писал(а):

Что-то не припомню, чтобы в школе и университете об этом рассказывали.

Ну, обычно логарифмические размерности не нужны, вот и не рассказывают. Я даже не уверен, что по ним есть какие-то общепринятые соглашения.

misha.physics в сообщении #1312950 писал(а):

Но это как бы означает, что этого делать необязательно.

На самом деле нет. Если у нас скаляр $r$ имеет размерность длины, формально это в лучшем случае будет элемент некоторого одномерного векторного пространства, а для них логарифм не определён, зато можно получить безразмерный, нормальный, скаляр делением на какое-нибудь $r_0$ того же типа. В таком случае у записи $\ln r-\ln r_0$ смысла вообще не будет. Что совпадает и с неформальным пониманием $\ln r$ как некоторой фиктивной штуковины, которая може присутствовать только в середине вычислений. С логарифмом проблема только в том, что если бы это была другая функция, мы бы не задумывались, а у него свойства уж больно хорошие, и хочется придать фиктивным величинам побольше смысла и сделать их совершенно нормальными. И в принципе можно, но я в полную формализацию этого не залезал и не могу ничего хорошего посоветовать (кроме того, что не надо на этом акцентироваться).

[misha.physics]

arseniiv,

(Оффтоп)

Спасибо. Видно, что вы любите говорить о векторных пространствах и т. д. Вы случайно не алгебраист? Мне все-таки кажется этот вопрос важным. Я легко могу себе представить человека, которого тоже волнуют такие вещи. Пишем логарифмы, рассматрываем "там" что-то размерное даже не задумываясь, а потом удивляемся, вспоминая что такое логарифмы, размерность их основания и показательные функции.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ну, мне отчасти важно. Но аккуратная формализация не добавит какого-нибудь нового понимания в практических приложениях размерностей.

misha.physics в сообщении #1313008 писал(а):

Видно, что вы любите говорить о векторных пространствах и т. д. Вы случайно не алгебраист?

Не. Ну а векторные пространства это просто простая и часто применимая конструкция.

[EUgeneUS]

misha.physics
Можно, конечно, про логарифмические размерности... Но, ИМХО, лучше с ошибкой разобраться.
А она есть. На неё уважаемый Walker_XXI указывал:

Walker_XXI в сообщении #1312675 писал(а):

Строго говоря, первое выражение у Вас ошибочно, поскольку Вы складываете величины разной размерности: величина $\ln{r}$ не безразмерна, а у Вас, грубо говоря, $C_1\ln{r}+C_1$. Не хватает слагаемого размерности $C_1\ln{r}$.

[Walker_XXI]

misha.physics в сообщении #1312950 писал(а):

Кстати, мы ведь можем сказать, что $r$ безразмерно. Это ведь не повлияет на выкладки, правда?

Можем, не повлияет. Только ошибки это не исправит. А метод проверки размерностей - один из довольно эффективных способов поиска ошибок в формулах (и не только в физике): нестыковка размерностей говорит либо о вычислительной ошибке, либо о неправильном уравнении (ошибке в понимании физики процесса).

misha.physics в сообщении #1312967 писал(а):

Значит у меня получается два выражения для $U$, которые никак нельзя свести друг к другу, даже используя одинаковые граничные условия на потенциал $U$? Как же тогда выбрать из них что-то одно? То, что "нам нужно"?

Все-таки, это меня немного удивляет. Диф. уравнение одно и то же. Условие для нахождение $m$ одно и то же. А потом дальнейшие вычисления дают разные результаты

Вам же EUgeneUS уже написал более конкретно: результат выглядит по-разному, потому что константы интегрирования разные. Когда Вы подробно распишите константу интегрирования в первом случае, увидите, что результат совпадает. Поэтому, чтобы избегать подобных ситуаций в принципе, я и советовал всегда приводить уравнения к такому виду, чтобы под логарифмом были безразмерные величины.

[EUgeneUS]

Walker_XXI в сообщении #1313165 писал(а):

Когда Вы подробно распишите константу интегрирования в первом случае, увидите, что результат совпадает.

FGJ, не очень понимаю, что пытается сделать ТС.
1. Есть дифур относительно $g(r)$.
2. ТС успешно находит общее решение ($m$ - константа интегрирования).
3. ТС успешно находит частное решение (определяет $m$) для н.у. $g(r_{+}) = 0$.
4. Вместо того, чтобы записать частное решение для $g(r)$, и что-то делать с этим, ТС зачем-то ищет частную производную от константы интегрирования. Зачем и почему - для меня загадка.

[misha.physics]

EUgeneUS,

Цитата:

Вместо того, чтобы записать частное решение для $g(r)$, и что-то делать с этим, ТС зачем-то ищет частную производную от константы интегрирования. Зачем и почему - для меня загадка.

Константа интегрирования $m$ связана с массой чёрной дыри. $M=\frac{m}{8}$ это некоторая функция масс. $M=M(S, Q)$, $S$ - энтропия, $Q$ - электрический заряд. $dM=TdS+UdQ$ - "аналог" второго начала термодинамики. Температура $T$ и потенциал $U$ - частные производные от $M$.
$S=\frac{\pi r_+}{2}$.

Насчёт ошибки. А может когда мы интегрируем первое диф. уравение, нужно прибавить константу интегрирования не $-m$ а, скажем $-m$ минус логарифм от чего-то размерности $r$. Например, под логарифмом может быть $\frac{1}{\beta}$, т. к. $\beta$ это обратная длина. Но это все как-то искуственно получается. Мне интересно, можно ли получить правильный результат, если не делать обезразмеривание и ничего не подганять, а просто написать константу интегрирования как "минус $m$".

Прошу прощения, если я уже всех достал с этим вопросом :)

[Walker_XXI]

misha.physics в сообщении #1313246 писал(а):

ничего не подганять, а просто написать константу интегрирования как "минус $m$".

Вам же уже ответили: можно. Только физический смысл этой константы будет не тот, что у константы, обозначенной этой же буквой, но при другом способе решения (потому что в неё попал логарифм размерной величины).