2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 02:13 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Здравствуйте. Уже пол дня мучаюсь со следующей проблемой.
Есть диф. уравнение:
$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta^2\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}=0$$
Решаю, получаю "длинный логарифм", но его аргумент не безразмерный. Имеет размерность длины $[r]$. Дальше считаю одну величину и получаю не то что нужно.

Потом переписываю диф. уравнение в виде:
$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta C_1\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2}{C_1^2}}=0$$
Решаю, получаю "длинный логарифм", перехожу к гиперболическому арксинусу, считаю ту же величину и, о чудо, получается правильно.

Вопрос: в чем здесь может быть дело?

Величина, которую я ищу ищется дифференцированием $g(r)$ по $C_1$ грубо говоря. В первом случае у меня получаются два похожие члены, но знаки у них одинаковы и они не сокращаются ($C_1$ находится в числителе). А во втором случае возникает знак минус (так как имеется $C_1$ в знаменателе). Действительно ли нужно быть так осторожным и всегда производить обезразмеривание?

P. S. Наверное нужно будет ещё что-то написать, но может вы уже догадываетесь, в чем здесь может быть дело :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 03:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Упрощу задачу: $$\int_{r_0}^r \frac{dr}{r}= \ln r- \ln r_0= \ln (r/r_0)$$ и размерность под логарифмом исчезает

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 06:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
А можно взглянуть на выкладки? Вдруг там просто где-то знак перепутан?

-- 15 май 2018, 06:53 --

Ну, или то, что в первом случае результат от знака С не зависит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 11:37 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Red_Herring, да, а как быть, если $r$ имеет размерность? Тогда под $r$ нужно понимать только его численное значение?

Евгений Машеров, хотел привести детальные выкладки, но проводя вычисления ещё раз, заметил интересную вещь. Первым способом получается:
$$U=-C_1\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2_+}\Big)-\frac{C_1}{2}$$
Вторым способом получаю:
$$U=-C_1\ln\Big(\frac{\beta r_+}{C_1}+\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2_+}{C_1^2}}\Big)$$

Вторую формулу можно преобразовать к виду:
$$U=-C_1\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2_+}\Big)-C_1\ln\frac{\beta}{C_1}$$
Это меня бы устроило. То есть вторая формула похоже верна.

Но как все это согласовать с первой формулой, где есть $\frac{C_1}{2}$ ?

-- 15 май 2018, 10:41 --

"Первый способ" это решение уравнения:
$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta^2\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}=0$$
"Второй способ" это решение уравнения:
$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta C_1\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2}{C_1^2}}=0$$
Они ведь одинаковы :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
А C знак имеет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 13:15 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Евгений Машеров, по идее это электрический заряд. Я сейчас приведу свои выкладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
misha.physics в сообщении #1312453 писал(а):
Red_Herring, да, а как быть, если $r$ имеет размерность?
А какая размерность у $r/r_0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 13:42 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Хорошо, приведу выкладки, а то мне эта проблема покоя не дает.
Есть диф. уравнение:
$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta^2\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}=0$$
Решаем:
$$g=(2\beta^2-\Lambda)r^2-2\beta^2\Bigg[r\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}+\frac{C_1^2}{\beta^2}\ln\Big(r+\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}\Big)\Bigg]-m$$
$m-$постоянная интегрирования
$$g(r_+)=0$$
$$m=(2\beta^2-\Lambda)r_+^2-2\beta^2\Bigg[r_+\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}+\frac{C_1^2}{\beta^2}\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)\Bigg]$$
$$M=\frac{m}{8}$$
$$C_1=2Q$$
$$M=\frac{1}{8}(2\beta^2-\Lambda)r_+^2-\frac{1}{4}\beta^2\Bigg[r_+\sqrt{\frac{4Q^2}{\beta^2}+r_+^2}+\frac{4Q^2}{\beta^2}\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{4Q^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)\Bigg]$$
$$U=\frac{\partial M}{\partial Q}$$
$$U=-C_1\Bigg(\frac{\frac{r_+}{2}}{\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}}+\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)+\frac{\frac{C_1^2}{2\beta^2}}{\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)}\Bigg)$$
Первый и второй члены в скобках дают $\frac{1}{2}$.
Итак:
$$U=-C_1\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)-\frac{C_1}{2}$$


Теперь переписываем то же диф. уравнение в виде:
$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta C_1\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2}{C_1^2}}=0$$
Решаем:
$g=(2\beta^2-\Lambda)r^2-2\beta r\sqrt{C_1^2+\beta^2r^2}-2C_1^2\ln\Big(\frac{\beta r}{C_1}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2}{C_1^2}}\Big)-m$


$M=\frac{1}{8}(2\beta^2-\Lambda)r_+^2-\Bigg[\frac{1}{4}\beta r_+\sqrt{4Q^2+\beta^2r_+^2}+Q^2\ln\Big(\frac{\beta r_+}{2Q}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{4Q2}}\Big)\Bigg]$


$U=-\Bigg[\frac{\frac{\beta r_+}{2}}{\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}}+C_1\ln{\Big(\frac{\beta r_+}{C_1}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}\Big)}-\frac{\frac{\beta r_+}{2}+\frac{\beta^2r_+^2}{2C_1\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}}}{\frac{\beta r_+}{C_1}+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}}\Bigg]$


Первый и третий члены сокращаются, и:
$U=-C_1\ln{\Big(\frac{\beta r_+}{C_1}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}\Big)$


Но как связать между собой выражения:
$$U=-C_1\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)-\frac{C_1}{2}$$
и:
$U=-C_1\ln{\Big(\frac{\beta r_+}{C_1}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}\Big)$

?

-- 15 май 2018, 12:48 --

Red_Herring,
Red_Herring в сообщении #1312480 писал(а):
misha.physics в сообщении #1312453 писал(а):
Red_Herring, да, а как быть, если $r$ имеет размерность?
А какая размерность у $r/r_0$?

В том то и дело. Есть ваша запись:
$$\int_{r_0}^r \frac{dr}{r}= \ln r- \ln r_0= \ln (r/r_0)$$
Пусть $r$ имеет размерность длины. Тогда $r/r_0$ безразмерно. Отлично, справа под логарифмом безразмерная величина, но слева под логарифмом - размерная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 14:14 
Заблокирован


16/04/18

1129
Вроде если добавить любую постоянную к решению данного дифура-то снова получится его решение, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 14:17 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
novichok2018, да, а чтобы выделить какое-то частное решение из всего семейства решений нужно наложить граничные или начальные условия. Думаю я понимаю о чем вы. Мне нужно смотреть в сторону начальных условий. Просто я не могу понять, откуда возьмется эта двойка в $C_1/2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
misha.physics
Цитата:
А какая размерность у $r/r_0$?

Соизвольте отвечать на вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 16:46 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Red_Herring, простите пожалуйста. Размерность $r/r_0$ единица. То есть эта величина безразмерна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
misha.physics в сообщении #1312520 писал(а):
То есть эта величина безразмерна.
И там так же. У вас логарифм возникает? Чего? Какого-то выражения от $r$ или все-таки отношения этого выражения от $r$ и его же от $r_+$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 17:58 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Red_Herring,
Цитата:
И там так же. У вас логарифм возникает? Чего? Какого-то выражения от $r$ или все-таки отношения этого выражения от $r$ и его же от $r_+$.

Да, у меня получается логарифм. Можно сделать так чтобы его аргумет был безразмерный, а можно оставить размерным. И меня удивляет почему-то сам факто этого. Что в принципе под логарифмом должна быть безразмерная величина. И мы можем так сделать. Но можем сделать и наоборот... Удивительные эти логарифмы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение15.05.2018, 18:09 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
misha.physics в сообщении #1312534 писал(а):
Да, у меня получается логарифм. Можно сделать так чтобы его аргумет был безразмерный, а можно оставить размерным. И меня удивляет почему-то сам факто этого. Что в принципе под логарифмом должна быть безразмерная величина. И мы можем так сделать. Но можем сделать и наоборот...


Это так, если у Вас величина, в которую логарифм входит, как слагаемое, (в данном случае $U(r)$) определено с точностью до константы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group