2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение20.05.2018, 14:03 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Walker_XXI, спасибо.

Спасибо всем. Постараюсь ещё разобраться с этим вопросом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение20.05.2018, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
misha.physics в сообщении #1313648 писал(а):
Постараюсь ещё разобраться с этим вопросом.

Сколько можно тянуть кота за хвост заниматься абсолютно тривиальным вопросом? Так ни на что более серьезное у вас до конца жизни времени не хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение20.05.2018, 14:25 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Red_Herring, да, знаете, у меня так бывает, что случаются запинки на элементарных вопросах. Но мне тяжело закрыть на них глаза. Да и мне нравится разбираться в том, что я раньше не понимал. Да и тривиальность это наверное субъективное понятие. По крайней мере в моём случае. Да, я ещё научного руководителя спрошу, может здесь нужно что-то знать об $m$ и производных от неё. Я могу отложить этот вопрос, но оставить его так не могу. Как можно строить что-то серьёзное на иллюзии непонимания его кирпичиков :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение20.05.2018, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
misha.physics
Рекомендую прочитать Главу 1 из популярной книги
Босс. Лекции по математике. Том 8. Теория групп
Там объясняется, что на самом деле стоит за этими самыми размерностями. По-моему, Вам будет интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение20.05.2018, 15:01 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Mikhail_K, спасибо, нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение04.06.2018, 20:04 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Я должен был вернутся к этому вопросу. С размерностью теперь все в порядке. Но проблема осталась.

Есть такая функция:
$$m=-2\beta r\sqrt{h^2+\beta^2r^2}-2h^2\ln(\beta r+\sqrt{h^2+\beta^2r^2})$$
Теперь использую формулу:
$$\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})=\operatorname{arsh}\big(\frac{x}{a}\big)$$
И пишу:
$$m=-2\beta r\sqrt{h^2+\beta^2r^2}-2h^2\operatorname{arsh}\big(\frac{\beta r}{h}\big)$$
Просто заменил "длинный логарифм" на гиперболический арксинус.

Теперь мне нужно найти частную производную:
$$\frac{\partial m}{\partial h}$$

Вот тут-то и возникает проблема.
Если пользоватся выражением для $m$ с "длинным логарифмом", то получается:

$$\frac{\partial m}{\partial h}=-4h\ln(\beta r+\sqrt{h^2+\beta^2r^2})-\frac{2\beta rh}{\sqrt{h^2+\beta^2r^2}}-\frac{2h^3}{\sqrt{h^2+\beta^2r^2}(\beta r+\sqrt{h^2+\beta^2r^2})}$$
После упрощения:
$$\frac{\partial m}{\partial h}=-4h\ln(\beta r+\sqrt{h^2+\beta^2r^2})-2h$$

Теперь посчитаем ту же производную, но воспользуемся выражением для $m$ с гиперболическим арксинусом:
$$\frac{\partial m}{\partial h}=-4h\operatorname{arsh}\big(\frac{\beta r}{h}\big)-\frac{2\beta rh}{\sqrt{h^2+\beta^2r^2}}+\frac{2\beta rh}{\sqrt{h^2+\beta^2r^2}}$$
При дифференцировании мы использовали формулу:
$$\frac{d}{dx}\operatorname{arsh}x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
Так что:
$$\frac{\partial m}{\partial h}=-4h\operatorname{arsh}\big(\frac{\beta r}{h}\big)$$

Итак, первый раз дифференцировали и получили:
$$\frac{\partial m}{\partial h}=-4h\ln(\beta r+\sqrt{h^2+\beta^2r^2})-2h$$
Второй раз дифференцировали и получили:
$$\frac{\partial m}{\partial h}=-4h\operatorname{arsh}\big(\frac{\beta r}{h}\big)$$
Теперь воспользуемся ещё раз формулой связи между "длинным логарифмом" и гиперболическим арксинусом и перепишем вторую формулу (заменим арксинус на логарифм). Тогда получим:
$$\frac{\partial m}{\partial h}=-4h\ln(\beta r+\sqrt{h^2+\beta^2r^2})-2h$$
и:
$$\frac{\partial m}{\partial h}=-4h\ln(\beta r+\sqrt{h^2+\beta^2r^2})$$

Вот как быть с этим $-\frac{h}{2}$. Производные от одной и той же фукнции $m$ по $h$ отличаются (как раз на аргумент дифференцирования). Здесь кто-то спрашивал меня имеет ли $h$ знак, я сразу не понял почему это важно, но может дело в этом. В формулу для $m$ (с логарифмом) $h$ входит только в квадрате, а в формулу для $m$ (с арксинусом) $h$ входит в первой степени (в знаменателе, в аргументе арксинуса).
И понятно, почему во втором случае у нас сокращаются два члены. Они имеют разные знаки. Как раз потому, что $h$ в аргументте арксинуса входит как $1/h$, и когда мы это дифференцируем, то получаем $-1/h^2$. Знак меняется. А когда мы имеем дело с логарифмом, то там знаки этих двух членов одинаковы и они не сокращаются. В чем же может проблема? Почему получаются разные результаты? Мы ведь использовали только формулу:
$$\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})=\operatorname{arsh}\big(\frac{x}{a}\big)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение04.06.2018, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1317226 писал(а):
Теперь использую формулу:
$$\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})=\operatorname{arsh}\big(\frac{x}{a}\big)$$

На самом деле, эта формула неверна.

misha.physics в сообщении #1317226 писал(а):
Есть такая функция:
$$m=-2\beta r\sqrt{h^2+\beta^2r^2}-2h^2\ln(\beta r+\sqrt{h^2+\beta^2r^2})$$ Теперь использую формулу:
$$\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})=\operatorname{arsh}\big(\frac{x}{a}\big)$$ И пишу:
$$m=-2\beta r\sqrt{h^2+\beta^2r^2}-2h^2\operatorname{arsh}\big(\frac{\beta r}{h}\big)$$

Неизвестно, откуда вы эту функцию взяли, но скорей всего, верна только именно вторая формула, с ареасинусом ("аршинусом"). В ней с размерностями всё окей. А первая - неверна, возможно, её кто-то неумелыми ручками соорудил из второй.

Почему
$$\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})\stackrel{?}{=}\operatorname{arsh}\big(\frac{x}{a}\big)$$ неверна? А вот почему. Сразу видим, что слева под логарифмом размерная величина (имеет размерность $[x]=[a],$ например, метры), а справа - безразмерная. От размерной величины логарифм брать нельзя (а от безразмерной - аршинус можно). Далее, идём в справочник, и видим там, что
$$\operatorname{arsh}z=\ln(z+\sqrt{z^2+1}\,).$$ Но это же совсем другое дело! Заменим $z\to\dfrac{x}{a},$ и видим, что получается совсем другая формула:
$$\operatorname{arsh}\Bigl(\dfrac{x}{a}\Bigr)=\ln\biggl(\dfrac{x}{a}+\sqrt{1+\Bigl(\dfrac{x}{a}\Bigr)^2}\,\biggr).$$ С некоторой долей условности можно заменить
$$\ln\biggl(\dfrac{x}{a}+\sqrt{1+\Bigl(\dfrac{x}{a}\Bigr)^2}\,\biggr)=\ln(x+\sqrt{a^2+x^2}\,)-\ln a,$$ но и всё, дальше уже никак, это слагаемое не может быть выкинуто.

----------------

Откуда взялась неверная формула
$$\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})\stackrel{?}{=}\operatorname{arsh}\big(\frac{x}{a}\big)?$$ Скорей всего, кто-то её "восстановил" из таблицы интегралов, но там-то написано совсем другое! Там написано
$$\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C=\operatorname{arsh}\big(\frac{x}{a}\big)+C,$$ но эти самые ${}+C$ с разных сторон разные! В одном из них "прячется" слагаемое ${}-\ln a,$ а в другом - нет.

----------------

Самостоятельно найти формулу, выражающую аршинус через логарифм, совсем нетрудно, если использовать определения и основное гиперболическое тождество:
$$\sh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad \ch x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2},\qquad \ch^2 x-\sh^2 x=1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус
Сообщение04.06.2018, 21:28 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Munin, отлично, спасибо большое. Буду сейчас разбираться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group