Задача о факторпространстве l1

[nya]

Ну то есть как я и говорил, разница в том что я не думаю о каких-то там линейных гомеоморфмзмах в обсуждении задачи целиком сформулированной в терминах категории $Ban_I$. Спасибо, разобрался! Можете начинать демонстрацию.

[vpb]

Mikhail_K
Мне неудобно было раньше писать, но, насколько я знаю, факт, что сепарабельное банахово пространство является факторпространством для $l_1$, является хрестоматийным.

[nya]

Да, конечно: тут ссылки всякие https://math.stackexchange.com/question ... -of-ell-1i

[pogulyat_vyshel]

Достаточно показать, что отображение построенное Mikhail_K является отображением "на'' . Действительно, тогда в силу этой теоремы:

pogulyat_vyshel в сообщении #1312361 писал(а):

если $A:X\to Y$ -- непрерывный оператор на лвп то $A=\tilde A p$, где $p:X\to X/\ker A$ -- каноническая проекция $\tilde A:X/\ker A\to Y$ -- непрерывный оператор, $\ker\tilde A=\{0\}$

$\tilde A$ -- непрерывное взаимнооднозначное отображение, значит по теореме Банаха об обратном операторе $\tilde A$ есть искомый изоморфизм. $X=\ell_1$

Оператор $A':Y'\to X'=\ell_\infty$ строится так $A'f=\{f(y^{(1)}),f(y^{(2)}),\ldots\}$. Дальше проверяется, что $\ker A'=\{0\}$ и образ $A'$ замкнут. После чего применяется теорема

pogulyat_vyshel в сообщении #1312214 писал(а):

Ограниченный оператор $A:X\to Y$ ($X,Y$ -- банаховы, хотя возможны и обобщения) является отображением ''на'' тогда и только тогда, когда $A':Y'\to X'$ -- изоморфизм на свой образ.

nya

подробности интересуют?

[nya]

pogulyat_vyshel

Нужны, $Y$ сепарабельное банахово пространство, Mikhail_K построил сюръективное отображение $A : \ell_1 \to Y$. Применили вашу теорему и построили вложение в $\ell_\infty$ двойственного к $Y$ пространства $A' : Y' \to \ell_\infty$, по-моему пока доказано только что в $\ell_\infty$ вкладывается любое сепарабельное банахово пространство, которое представимо в виде двойственного к какому-то другому сепарабельному банаховому. Дальше что?

[pogulyat_vyshel]

Да, собственно, ничего. Вы опять не поняли написанное прямым текстом. Это ваша проблема. Вдалбливать вам по слогам я не собираюсь, мне это неинтересно.

[nya]

Уважемые участники формуа dxdy! Кому-то ещё понятно что написал pogulyat_vyshel? Мне очень интересно как можно свести решение задачи "любое пространство представимо как фактор $\ell_1$" к решению задачи "любое пространство представимо как подпространство в $\ell_\infty$" чисто соображениями двойственности! Это сведение кто-нибудь ещё видит в постах pogulyat_vyshel, кроме него самого? Предполагаю что с большой долей вероятности я дурак и в упор не замечаю очевидного! Но очень разобраться хочется!

[g______d]

nya в сообщении #1312463 писал(а):

Кому-то ещё понятно что написал pogulyat_vyshel?

Мне вроде понятно.

nya в сообщении #1312451 писал(а):

Применили вашу теорему и построили вложение в $\ell_\infty$ двойственного к $Y$ пространства $A' : Y' \to \ell_\infty$,

Теорема же в другую сторону применяется.

[nya]

g______d в сообщении #1313991 писал(а):

Теорема же в другую сторону применяется.

Всё равно не понимаю. Нашли вложение $A: Y \to \ell_\infty$ и построили фактор $A' : (\ell_\infty)' \to Y'$? И что это даёт?

-- 22.05.2018, 01:18 --

Или нужно искать вложение $Y' \to \ell_\infty$ чтобы был фактор $\ell_1 \to Y$? Ну так $Y'$ не обязательно сепарабельное.

[g______d]

nya в сообщении #1314004 писал(а):

Или нужно искать вложение $Y' \to \ell_\infty$ чтобы был фактор $\ell_1 \to Y$? Ну так $Y'$ не обязательно сепарабельное.

Мне немного неудобно отвечать, потому что это дословно то, что написал pogulyat_vyshel и я не могу понять, в чём была проблема это прочитать.

Было сепарабельное пространство $Y$.

Построили оператор $A\colon \ell_1\to Y$ (четвертая строчка первого поста в теме).

Вычислили $A'\colon Y'\to \ell_{\infty}$.

Доказали, что ядро $A'$ тривиально и образ замкнут.

Применили теорему Банаха и получили, что $A'$ является изоморфизмом на свой образ.

Применили теорему про "тогда и только тогда" и получили, что $A$ является отображением "на".

Применили теорему про фактор по ядру.

[nya]

g______d в сообщении #1314007 писал(а):

Построили оператор $A\colon \ell_1\to Y$ (четвертая строчка первого поста в теме).

Так в смысле, если отображение $A$ уже явно задано, то доказывать сюръективность $A$ и изометрическую инъективность $A'$ это одинаковые по сложности задачи.

Я под "сведением к двойственной" понимал следующее: для каждого сепарабельного бан.спейса $X$ у нас есть (какое-то абстрактное) вложение $i_X : X \to \ell_\infty$, по этому набору данных для каждого сепарабельного бан.спейса $X$ построить фактор $\pi_X : \ell_1 \to X$. Ну или наоборот: есть $\pi_X$ построить $i_X$.

[g______d]

nya в сообщении #1314009 писал(а):

Я под "сведением к двойственной" понимал следующее: для каждого сепарабельного бан.спейса $X$ у нас есть (какое-то абстрактное) вложение $i_X : X \to \ell_\infty$, по этому набору данных для каждого сепарабельного бан.спейса $X$ построить фактор $\pi_X : \ell_1 \to X$. Ну или наоборот: есть $\pi_X$ построить $i_X$.

Так в таком виде ничего и не анонсировалось (более того, было сформулировано точное утверждение с доказательством, чтобы избежать разночтений и зафиксировать, что именно анонсировалось).

[nya]

Суть в том что, я не так проинтерпретировал ответ на не так проинтерпретированное мною заявление в этих строчках:

pogulyat_vyshel в сообщении #1312361 писал(а):

nya в сообщении #1312235 писал(а):

К двойственной задаче не выйдет свести.

Это после того, как я теорему сформулировал Блин

ну, в общем ладно, по итогу я всех неправильно понял, все неправильно поняли меня и никто ничего нетривиального не высказал. Бывает.