Задача. Доказать, что существует замкнутое подпространство

такое, что

изоморфно

.
Решение. Пространство

сепарабельное, поэтому в нём найдётся счётное множество

, плотное на его единичной сфере

.
Определим линейный оператор

: для любого

,

положим

.
Ряд сходится в силу критерия Коши для банахова пространства

и сходимости ряда

;
имеем

, так что оператор

линейный непрерывный с нормой

.
----------
В качестве замкнутого подпространства

возьмём ядро

.
Определим линейный оператор

формулой
![$\widetilde A[x]=Ax$ $\widetilde A[x]=Ax$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/e/6fe61c5740e6eacfed8d41e42a1717cc82.png)
.
Покажем, что он и является изоморфизмом между

и

. Инъективность оператора

ясна, сюръективность и свойство сохранения нормы будут показаны ниже.
----------
Пусть

- произвольный элемент пространства

. Исследуем его прообраз

: в частности, покажем что он непуст.
Возьмём произвольное

.
Множество

плотно на сфере

. Элемент

как раз принадлежит этой сфере. Поэтому найдётся индекс

такой, что

Тем самым, для элемента

,

имеем:

----------
Применим ту же самую процедуру, которую мы производили с элементом

, к элементу

, и найдём индекс

(его всегда можно выбрать отличающимся от

) такой, что для элемента

будет справедливо

Продолжая эту процедуру, получаем разложение элемента

в сходящийся (в норме пространства

) ряд

с попарно различными индексами

.
Мы видим, что

, где

,

причём

----------
Мы видим, что прообраз

непуст (в частности, содержит все элементы вида

,

).
С одной стороны, для любого элемента

этого прообраза, справедливо

- в силу того что

.
С другой стороны, среди элементов прообраза есть такие, нормы у которых ограничены сверху значениями

с произвольным сколь угодно малым

.
Это значит, что инфимум норм элементов прообраза в точности равен

.
Осталось заметить, что прообраз

представляет собой элемент пространства

, и совпадает с единственной точкой-прообразом

того же самого элемента

при отображении

. Имеем

Мы показали, что линейный оператор

биективен и сохраняет норму. Искомый изоморфизм построен.
----------
В качестве

подошло бы любое другое сепарабельное банахово пространство.