Задача о факторпространстве l1

[Mikhail_K]

Задача. Доказать, что существует замкнутое подпространство $M\subset\ell_1$ такое, что $\ell_1/M$ изоморфно $L_3(0,1)$.

Решение. Пространство $Y=L_3(0,1)$ сепарабельное, поэтому в нём найдётся счётное множество $\{y^{(m)}\}_{m=1}^\infty$, плотное на его единичной сфере $S$.
Определим линейный оператор $A:\,\ell_1\to Y$: для любого $x\in\ell_1$, $x=(x_1,\ldots,x_n,\ldots)$ положим
$Ax=\sum\limits_{k=1}^\infty x_ky^{(k)}$.
Ряд сходится в силу критерия Коши для банахова пространства $Y=L_3(0,1)$ и сходимости ряда $\|x\|_{\ell_1}=\sum\limits_{k=1}^\infty|x_k|$;
имеем $\|Ax\|\leq\sum\limits_{k=1}^\infty |x_k|\|y^{(k)}\|=\sum\limits_{k=1}^\infty |x_k|=\|x\|_{\ell_1}$, так что оператор $A$ линейный непрерывный с нормой $\|A\|\leq 1$.

----------

В качестве замкнутого подпространства $M\subset\ell_1$ возьмём ядро ${\rm{Ker}}A$.
Определим линейный оператор $\widetilde A:\,\ell_1/{\rm{Ker}}A\to Y$ формулой $\widetilde A[x]=Ax$.
Покажем, что он и является изоморфизмом между $\ell_1/{\rm{Ker}}A$ и $Y$. Инъективность оператора $\widetilde A$ ясна, сюръективность и свойство сохранения нормы будут показаны ниже.

----------

Пусть $y\in Y$ - произвольный элемент пространства $Y$. Исследуем его прообраз $A^{-1}(y)\subset\ell_1$: в частности, покажем что он непуст.
Возьмём произвольное $0<\alpha<1/2$.
Множество $\Bigl\{\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|y\|y^{(m)}\Bigr\}_{m=1}^\infty$ плотно на сфере $\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|y\|S$. Элемент $\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)y$ как раз принадлежит этой сфере. Поэтому найдётся индекс $m_1$ такой, что

$$ \Bigl\|\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|y\|y^{(m_1)}-\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)y\Bigr\|\leq\alpha\|y\|. $$

Тем самым, для элемента $\widetilde y^{(1)}\in Y$, $\widetilde y^{(1)}=y-\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|y\|y^{(m_1)}$ имеем:

$$ \|\widetilde y^{(1)}\|\leq\Bigl\|y-\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)y\Bigr\|+\Bigl\|\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|y\|y^{(m_1)}-\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)y\Bigr\|\leq\Bigl(\frac{1}{2}-\alpha\Bigr)\|y\|+\alpha\|y\|=\frac{1}{2}\|y\|. $$

----------

Применим ту же самую процедуру, которую мы производили с элементом $y$, к элементу $\widetilde y^{(1)}$, и найдём индекс $m_2$ (его всегда можно выбрать отличающимся от $m_1$) такой, что для элемента
$\widetilde y^{(2)}=\widetilde y^{(1)}-\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|\widetilde y^{(1)}\|y^{(m_2)}$ будет справедливо

$$ \|\widetilde y^{(2)}\|\leq\frac{1}{2}\|\widetilde y^{(1)}\|\leq\frac{1}{4}\|y\|. $$

Продолжая эту процедуру, получаем разложение элемента $y$ в сходящийся (в норме пространства $Y$) ряд

$$ y=\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|y\|y^{(m_1)}+\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|\widetilde y^{(1)}\|y^{(m_2)}+\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|\widetilde y^{(2)}\|y^{(m_3)}+\ldots $$

с попарно различными индексами $m_1,\,m_2\,\ldots$.

Мы видим, что $y=Ax^{(\alpha)}$, где $x^{(\alpha)}\in\ell_1$,
\begin{equation} x^{(\alpha)}_k= \begin{cases} \Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|y\|,&k=m_1\\ \Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\|\widetilde y^{(j-1)}\|,&k=m_j,\,j=2,3,\ldots\\ 0,&k\neq m_1,m_2,m_3\ldots \end{cases}, \notag \end{equation}
причём

$$\|x^{(\alpha)}\|_{\ell_1}=\sum\limits_{k=1}^\infty|x_k|=\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\bigl(\|y\|+\|\widetilde y^{(1)}\|+\|\widetilde y^{(2)}\|+\ldots\bigr)\leq\Bigl(\frac{1}{2}+\alpha\Bigr)\Bigl(\|y\|+\frac{1}{2}\|y\|+\frac{1}{4}\|y\|+\ldots\Bigr)=(1+2\alpha)\|y\|.$$

----------

Мы видим, что прообраз $A^{-1}(y)$ непуст (в частности, содержит все элементы вида $x^{(\alpha)}$, $0<\alpha<1/2$).

С одной стороны, для любого элемента $x\in A^{-1}(y)$ этого прообраза, справедливо $\|x\|_{\ell_1}\geq\|y\|$ - в силу того что $\|A\|\leq 1$.

С другой стороны, среди элементов прообраза есть такие, нормы у которых ограничены сверху значениями $(1+2\alpha)\|y\|$ с произвольным сколь угодно малым $\alpha$.

Это значит, что инфимум норм элементов прообраза в точности равен $\|y\|$.

Осталось заметить, что прообраз $A^{-1}(y)$ представляет собой элемент пространства $\ell_1/{\rm{Ker}}A$, и совпадает с единственной точкой-прообразом $\widetilde A^{-1}y$ того же самого элемента $y$ при отображении $\widetilde A:\,\ell_1/{\rm{Ker}}A\to Y$. Имеем

$$ \|\widetilde A^{-1}y\|_{\ell_1/{\rm{Ker}}A}=\inf\limits_{x\in A^{-1}(y)}\|x\|=\|y\|. $$

Мы показали, что линейный оператор $\widetilde A^{-1}:\,\ell_1/{\rm{Ker}}A$ биективен и сохраняет норму. Искомый изоморфизм построен.

----------

В качестве $Y=L_3(0,1)$ подошло бы любое другое сепарабельное банахово пространство.

[nya]

Искать фактор в $l^1$ это всё равно что искать субспейс в $l^\infty$. А то что любой сеп. спейс вкладывается в $l^\infty$ это классика более-менее: найти счётное всюдуплотное множество векторов, взять двойственные функционалы по ХБ, мэп который вектор в последовательность значений двойственных функционалов посылает и будет искомым вложением.

[pogulyat_vyshel]

Mikhail_K в сообщении #1311920 писал(а):

В качестве $Y=L_3(0,1)$ подошло бы любое другое сепарабельное банахово пространство.

разумеется

nya в сообщении #1312141 писал(а):

Искать фактор в $l^1$ это всё равно что искать субспейс в $l^\infty$. А то что любой сеп. спейс вкладывается в $l^\infty$ это классика более-менее: найти счётное всюдуплотное множество векторов, взять двойственные функционалы по ХБ, мэп который вектор в последовательность значений двойственных функционалов посылает и будет искомым вложением.

Да, я тоже примерно это и имел в виду. Ограниченный оператор $A:X\to Y$ ($X,Y$ -- банаховы, хотя возможны и обобщения) является отображением ''на'' тогда и только тогда, когда $A':Y'\to X'$ -- изоморфизм на свой образ. Но то, что задача решается в лоб, да там еще и изометрия, это забавно, конечно.

[nya]

pogulyat_vyshel
То, что я сказал - буквально неверно, сори. Но можно повторить двойственную к конструкции про вложение в $l^\infty$: выберем всюдуплотное множество в единичном шаре, множество сходящихся последовательностей с элементами из него изоморфно $l^1(N)$, сам сеп.спейс будет фактором по ядру эвалюэйшн мэпа.

-- 13.05.2018, 23:37 --

А, ну ровно это и делалось, и сюръективность доказывалась тоже довольно есетственно, ну окей.

[Mikhail_K]

pogulyat_vyshel в сообщении #1312214 писал(а):

да там еще и изометрия

Да, под словом "изоморфизм" я понимал именно изометрию, поэтому для его построения пришлось повозиться чуть дольше, чем если бы я искал просто линейный гомеоморфизм (что, видимо, Вы и имели в виду). Изоморфизм - биекция, сохраняющая структуру, поэтому под изоморфизмом линейных нормированных пространств естественно понимать биективное линейное отображение, сохраняющее норму. Например, в учебнике Колмогорова-Фомина данный термин употребляется именно в этом смысле; хотя, возможно, где-то и по-другому.

И да, факт интересный, что есть не только линейный гомеоморфизм, но и изометрия между произвольным сепарабельным банаховым пространством и некоторым факторпространством $\ell_1$.

Если не нужно доказывать изометричность, я бы всё равно действовал без перехода к сопряжённым пространствам. В доказательстве сюръективности $A$ можно было бы строить прообраз произвольного элемента $y\in Y$ чуть менее аккуратно, не заботясь о его норме, а потом воспользоваться теоремой Банаха о гомеоморфизме. Было бы чуть-чуть короче. Не думаю, что с переходом к $\ell_\infty$ получилось бы как-то уж сильно заметно проще.

[nya]

К двойственной задаче не выйдет свести. Я не вижу как. О норме и не нужно заботиться, достаточно что на $y^{i}$ изометрия. Это более менее общее утверждение даже в таком контексте: пусть есть отображение между двумя метрическими пространствами $f : N \to M$, если $f$ изометрия на плотном подмножестве $N$, то $f$ изометрия на всём $N$.

[Mikhail_K]

nya в сообщении #1312235 писал(а):

О норме и не нужно заботиться, достаточно что на $y^{i}$ изометрия.

Да, действительно.

[pogulyat_vyshel]

Mikhail_K в сообщении #1312225 писал(а):

Например, в учебнике Колмогорова-Фомина данный термин употребляется именно в этом смысле; хотя, возможно, где-то и по-другому.

у Канторовича изоморфизм это линейный гоммеоморфизм, у Иосиды для вашего изоморфизма есть специальный термин "изометрический изоморфизм", ну и у Эдвардся тоже изоморфизм понимается как линейный гомеоморфизм, хотя это явно не проговаривается вроде.

Mikhail_K в сообщении #1312225 писал(а):

Не думаю, что с переходом к $\ell_\infty$ получилось бы как-то уж сильно заметно проще.

не то что бы сильно и проще , но стандартней и шаблонней. Еще вы там по-моему продублировали в доказательстве часть стандартной теоремы: если $A:X\to Y$ -- непрерывный оператор на лвп то $A=\tilde A p$, где $p:X\to X/\ker A$ -- каноническая проекция $\tilde A:X/\ker A\to Y$ -- непрерывный оператор, $\ker\tilde A=\{0\}$

-- 14.05.2018, 21:42 --

nya в сообщении #1312235 писал(а):

К двойственной задаче не выйдет свести.

Это после того, как я теорему сформулировал Блин

[nya]

и что, что двойственное отображение инъективно когда прямое сюръективно? имея на руках $M \subset \ell_\infty$ каким образом планируется найти $M' \subset \ell_1$, такое, что $\ell_1/M'$ изоморфно $M$?

[pogulyat_vyshel]

nya в сообщении #1312362 писал(а):

и что, что двойственное отображение инъективно когда прямое сюръективно?

я этого не говорил

nya в сообщении #1312362 писал(а):

имея на руках $M \subset \ell_\infty$ каким образом планируется найти $M' \subset \ell_1$, такое, что $\ell_1/M'$ изоморфно $M$?

я так вопрос не ставил
вы путаете сами себя

[nya]

pogulyat_vyshel в сообщении #1312214 писал(а):

Да, я тоже примерно это и имел в виду. Ограниченный оператор $A:X\to Y$ ($X,Y$ -- банаховы, хотя возможны и обобщения) является отображением ''на'' тогда и только тогда, когда $A':Y'\to X'$ -- изоморфизм на свой образ.

это то же самое что и

nya в сообщении #1312362 писал(а):

и что, что двойственное отображение инъективно когда прямое сюръективно

и это абсолютно никак не помогает свести одну задачу к другой

[pogulyat_vyshel]

nya в сообщении #1312387 писал(а):

это то же самое что и

нет, это не тоже самое. читайте ветку внимательно

nya в сообщении #1312387 писал(а):

и это абсолютно никак не помогает свести одну задачу к другой

то утверждение, которое формулируете вы скорее всего неверно и, конечно, не помогает

[Pphantom]

А тут просьба уже и к pogulyat_vyshel - не надо забывать про заглавные буквы и точки.

[nya]

И в чём разница? В том что я не говорю "банахово", "замкнутое" и "ограниченный линейный" через каждое слово, подразумевая, что и так понятно в каком контексте работаем?

pogulyat_vyshel в сообщении #1312389 писал(а):

и, конечно, не помогает

Ваше утверждение, другое ли оно или то же самое, тоже не помогает. По крайней мере вы не продемонстрировали обратного пока.

[pogulyat_vyshel]

nya в сообщении #1312392 писал(а):

И в чём разница? В том что я не го

Вложение $C^1[a,b]\to C[a,b]$ является инъективным, но оно не является изоморфизмом на свой образ поскольку $C^1[a,b]$ со с тандартной топологией не является линейно гомеоморфным пространству дифференцируемых функций с топологией индуцированной из $C[0,1]$

nya в сообщении #1312392 писал(а):

По крайней мере вы не продемонстрировали обратного пока.

Продемонстрирую. Сперва с выше сказанным разберитесь