Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1311838 писал(а):

С этим не справился.
Матрица унитарного оператора в ортонормированном базисе, она же унитарная матрица - это такая матрица $A$, что $\bar A^T = A^{-1}$. Я, разумеется, помню рецепт построения обратной матрицы (составить матрицу алгебраических дополнений, транспонировать, разделить на определитель исходной матрицы). Но это столь громоздкая процедура, что я не в силах заранее предсказать её результат. То есть я не могу подобрать матрицу $A$ такой, чтобы обратная к ней имела какие-то заданные свойства. Может быть, имеются какие-то более простые рецепты построения именно унитарных матриц?

Тут есть хороший совет: сбоку и с малого. Например, если $A$ вещественна, то $\bar A = A$, то есть любая вещественная ортогональная матрица также и унитарная (а пример ортогональной матрицы любого порядка известен — косинус-синус). Это скучный пример, но всё-таки пример.

Комплекснозначность открывает одну дверь, которая аналогией с вещественной ортогональной матрицей может не открыться, но если попытаться как-то упростить вид вещественной ортогональной матрицы, воспользовавшись теперь разрешёнными комплексными числами…

(Спойлер)

Поищите диагональную матрицу. Если идей не будет, поищите тогда между делом унитарную матрицу 1×1.

В результате «каноническая» унитарная матрица проще «канонической» ортогональной (если говорить о жордановой нормальной форме), это всё плоды алгебраической замкнутости $\mathbb C$, как и в основной теореме алгебры и много ещё где.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1311838 писал(а):

Может быть, имеются какие-то более простые рецепты построения именно унитарных матриц?

Да, есть.

Унитарные матрицы - это далеко идущее обобщение понятия матрицы поворота. Например, вот это вот:

$$\begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \\ \end{pmatrix}$$

- одновременно и матрица поворота, и ортогональная (действительная) матрица, и унитарная (комплексная) матрица. Ещё унитарными матрицами являются такие диагональные, что модули диагональных элементов равны 1. И ещё некоторые:

$$\begin{pmatrix} e^{i\varphi} & 0 \\ 0 & e^{i\psi} \\ \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} \cos\varphi & i\sin\varphi \\ i\sin\varphi & \cos\varphi \\ \end{pmatrix}.$$

В случае матриц большего размера, так просто их описать не получится. Формулы становятся очень громоздкими. Примеры можно найти в Википедии в статьях про углы Эйлера, или про матрицу ККМ. Но есть общее правило: унитарная матрица - это экспонента от некоторой анти-эрмитовой. То есть, если у вас есть некая $H=(H^*)^\mathrm{T},$ то можно получить унитарную матрицу $U=e^{iH}.$ А экспоненту надо вычислять в базисе с.в. исходной матрицы $H$: там она будет диагональной с экспонентами от диагональных элементов $iH.$ (Ортогональные - в лучшем случае в некотором базисе блочно-диагональные, с блоками вида $(\pm 1)$ и $\left(\begin{smallmatrix}\cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{smallmatrix}\right).$)

[Pphantom]

talash, не надо копировать сюда (да еще и в кривом оформлении) громадные цитаты, не имеющие отношения к делу. Замечание за оффтопик, сообщение (и связанное с ним сообщение Munin) удалены.

Кроме этого, с учетом содержания Ваших предыдущих тем, Вам, по-видимому, следует воздержаться от каких-либо советов об изучении квантовой механики.

[Munin]

$(U^*)^\mathrm{T}=e^{(iH^*)^\mathrm{T}}=e^{-i(H^*)^\mathrm{T}}=e^{-iH}=(e^{iH})^{-1}.$

-- 12.05.2018 11:59:13 --

Обозначением комплексной сопряжённости "черта сверху" лучше не пользоваться, в физике оно часто зарезервировано за другими понятиями. Переучивайтесь на звёздочку. Кроме того, распространено обозначение "просто сопряжённости" = эрмитовой сопряжённости

$A^\dagger=A^+=(A^*)^\mathrm{T}.$

[Anton_Peplov]

Munin
Спасибо.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1311580 писал(а):

Найдите определение матриц Паули, и опишите пространство, базисом которого они являются.

В рувики написано, что это три матрицы, составляющие базис в пространстве эрмитовых матриц $2 \times 2$ с нулевым следом. След - это сумма элементов главной диагонали.

Зачем нужен след и чем матрицы с нулевым следом лучше матриц с ненулевым, я не знаю.

[Munin]

Если мы возьмём экспоненту от матрицы, то след показателя даст нам определитель экспоненты. А вот определители нам часто нужны. Среди всех унитарных (в вещ. случае ортогональных) матриц, есть подмножество унитарных (ортогональных) матриц с единичным определителем. Они в каком-то смысле "ещё лучше". Например, ортогональные матрицы с единичным определителем - это в точности матрицы некоторого поворота пространства вокруг начала координат. (А ортогональные матрицы с определителем $-1$ включают в себя какое-то зеркальное отражение.)

Поэтому, эрмитовы матрицы с нулевым следом нужны для того, чтобы когда мы возьмём от них $e^{iH},$ то определитель получившейся унитарной матрицы был бы единичным.

[Mikhail_K]

pogulyat_vyshel

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1311559 писал(а):

Не подскажите ли мне тогда, как доказать, что $L^3(0,1)$ изоморфно некоторому факторпространству вида $\ell_1/?$

Уточню на всякий случай. Доказать, что существует замкнутое подпространство $M\subset\ell_1$ такое, что $\ell_1/M$ изоморфно $L^3(0,1)$

Отчего же не подсказать, подскажу.
Спасибо за задачу.
topic126971.html

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1311908 писал(а):

Если мы возьмём экспоненту от матрицы, то след показателя даст нам определитель экспоненты.

Здесь не понял. Имеется в виду, что $\det e^{iH} = \operatorname{tr} H$? Тогда вот здесь

Munin в сообщении #1311908 писал(а):

Поэтому, эрмитовы матрицы с нулевым следом нужны для того, чтобы когда мы возьмём от них $e^{iH},$ то определитель получившейся унитарной матрицы был бы единичным.

что-то не сходится.
Sorry, если туплю, время позднее.

[Xaositect]

Имеется в виду $\det e^H = e^{\operatorname{tr} H}$.

[Anton_Peplov]

Xaositect в сообщении #1311978 писал(а):

Имеется в виду $\det e^H = e^{\operatorname{tr} H}$.

Ага, спасибо.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1311856 писал(а):

Обозначением комплексной сопряжённости "черта сверху" лучше не пользоваться, в физике оно часто зарезервировано за другими понятиями. Переучивайтесь на звёздочку. Кроме того, распространено обозначение "просто сопряжённости" = эрмитовой сопряжённости

Здесь нужно заметить, что, к сожалению, в математике звёздочкой обозначается обычно эрмитово сопряжённая матрица (т.е. полученная транспонированием и комплексным сопряжением всех элементов). А в более общем случае оператора в линейном пространстве (вообще говоря, бесконечномерном) звёздочкой обозначается сопряжённый оператор (в конечномерном случае ему как раз соответствует эрмитово сопряжённая матрица).

Так что совет "переучиваться с черты на звёздочку", может, и хорош для физики, но нужно с ним всё-таки быть осторожным. В математике звёздочка обычно означает не это.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1312053 писал(а):

может, и хорош для физики

Именно об этом и речь. Посмотрите на тему и на раздел форума.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Munin, ну, Вы же сами советуете ТС разобраться с некоторыми математическими темами. И, наверное, по математическим учебникам в том числе. Поэтому стоит его предупредить о возможном различии в обозначениях, способном вызвать путаницу. А так-то, с советом я не спорю, конечно.

[Munin]

Во-первых, я очень против, когда математики начинают выдумывать свои идеи о том, как математику нужно давать физикам. Расходящиеся, часто противоположные тому, что на самом деле нужно физикам.

Во-вторых, о разнице в обозначениях я первый же и предупредил, гораздо выше по теме.

И в-третьих, данный конкретный ТС, если немного проследить его историю, как раз перегружен математическими источниками, математическими учебниками "для математиков", и я даже мысли не могу допустить, что он не знает математических обозначений. Ему наоборот надо вынырнуть из математического мира в физический. Для чего, давать в том числе обозначения физические.