Род поверхности

[Someone]

MChagall в сообщении #1311989 писал(а):

Здесь не обманываю(сь)?

Обманываетесь. Никаких $k$ и $l$ не должно быть и в помине. У нас есть точка $z_0=re^{i\varphi_0}$, и мы начинаем изменять аргумент: $z=re^{i(\varphi_0+\Delta\varphi)}$, увеличивая $\Delta\varphi$ от $0$ до $2\pi$, то есть, делая полный оборот вокруг точки $0$. На сколько изменится аргумент функции $f(z)$?

[MChagall]

$\Delta\varphi=0\Rightarrow \sqrt[6]{z^4}=e^{\frac{2i \varphi_0}{3}}$
$\Delta\varphi=2 \pi \Rightarrow \sqrt[6]{z^4}=e^{\frac{2i \varphi_0}{3}+\frac{4i \pi}{3}}$
$\Delta \arg f(z)=\frac{2 \varphi_0}{3}+\frac{4 \pi}{3}-\frac{2 \varphi_0}{3}=\frac{4 \pi}{3}$.
Оно?

(Оффтоп)

Не сердитесь! Я правда стараюсь!

[Someone]

Оно. Теперь разбирайтесь с точками ветвления.

[MChagall]

MChagall в сообщении #1311813 писал(а):

$f_1=e^\frac{2i\varphi}{3}$
$f_2=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{i\pi}{3}}$
$f_3=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{2i\pi}{3}}$
$f_4=e^{\frac{2i\varphi}{3}+i\pi}$
$f_5=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{4i\pi}{3}}$
$f_6=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{5i\pi}{3}}$

Получается, что если стартую с $f_1$, то маршрут такой: $f_1\to f_5\to f_3\to f_1\to...$.
Если с $f_2$, то такой: $f_2\to f_6\to f_4\to f_2\to...$.
Две точки порядка три.
Верно?

[Someone]

MChagall в сообщении #1312004 писал(а):

$\Delta\varphi=0\Rightarrow \sqrt[6]{z^4}=e^{\frac{2i \varphi_0}{3}}$

Да, маленькое уточнение: $\sqrt[6]{z^4}=\sqrt[3]{r^2}\exp\left(i\left(\frac 23\varphi_0+\frac{\pi k}3+\frac 23\Delta\varphi\right)\right)$, где $k$ фиксированное, то есть, при изменении $\Delta\varphi$ значение $k$ не изменяется (мы следим за конкретной ветвью корня).

[MChagall]

Someone в сообщении #1312018 писал(а):

где $k$ фиксированное, то есть, при изменении $\Delta\varphi$ значение $k$ не изменяется (мы следим за конкретной ветвью корня).

Ну вот это у меня и вызывало вопросы. Ведь при обходе вокруг нуля мы переходим на другую ветвь. И $k$ увеличивается на единицу. Как я сейчас представляю, само $k$ не увеличивается, а переход "зарыт" в $\frac{2}{3}\Delta \varphi$. Прав я?

[Someone]

MChagall в сообщении #1312019 писал(а):

переход "зарыт" в $\frac{2}{3}\Delta \varphi$. Прав я?

Да.

MChagall в сообщении #1312019 писал(а):

Ведь при обходе вокруг нуля мы переходим на другую ветвь. И $k$ увеличивается на единицу.

Но однозначной связи между ветвью и номером $k$ нет. Ведь начальный аргумент $\varphi_0$ определён не однозначно.