Род поверхности

[MChagall]

Пытаюсь разобраться с римановыми поверхностями.
Найти род р/п, заданной в $\mathbb{C}P^1\times \mathbb{C}P^1$ уравнением:
1) $w=\sqrt{z}+\sqrt{z(1-z)}$
2) $w=(1+\sqrt{z})(1+\sqrt[4]{z})$
3) $w=\sqrt{1-\sqrt{z}}$
4) $w^m+z^n=1; m, n\in \mathbb{N}$.

1) Хочу использовать теорему Римана-Гурвица: $g=\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{n}(K_j-1)-m+1$, где $m$ - количество листов, $n$ - количество точек ветвления, $K_j$ - порядок ветвления $j$-ой точки.
Представляю уравнение в виде $F(z,w)=w^4-2zw^2+z^3=0$. Ищу точки ветвления из системы

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &F(z,w)=0& \\ &\frac{\partial F(z,w)}{\partial w}=0& \\ \end{array} \right.$$

Получаю три точки $(0; 0), (1; 1), (1, -1)$.
Возникают вопросы
1. В точке $(0, 0)$ и $\frac{\partial F(z,w)}{\partial z}=0$. На это стоит обращать внимание или нет?
2. Правильно ли я понимаю, что всегда $m=deg F$ относительно $w$ ?
3. Как узнать порядок точки ветвления?

[MChagall]

Конечно, ошибся. $F(z,w)=w^4+2w^2z^2-4w^2z+z^4$. Но точки те же получаются: $(0; 0), (1; 1), (1, -1)$.
И остались вопросы:
1. В точке $(0, 0)$ и $\frac{\partial F(z,w)}{\partial z}=0$. На это стоит обращать внимание или нет?
2. Моя риманова поверхность четырёхлистная, так как $deg F_w=4$. Верно?
3. Порядок точек определяю так:
$z=0$: при обходе точки по контуру $\left\lvert z\right\rvert=R<1$ знак $\sqrt{z}$ меняется на противоположный, а знак $\sqrt{1-z}$ не меняется. Получается мы попадём в противоположный элемент. При втором обходе вернёмся в начальный. Значит, порядок равен 2.
$z=1$: аналогично два элемента $\sqrt{z}\pm \sqrt{z(1-z)}$. Порядок также 2.
Но точке $z=1$ на поверхности соответствуют две точки $(1; 1), (1, -1)$. Значит, у каждой порядок 2.
4. $z=\infty$: при обходе обеих точек ($z=1; z=0$) по большому контуру получаем два элемента $\pm\sqrt{z}+\sqrt{z(1-z)}$. Порядок тоже 2.
Но по формуле Римана-Гурвица $g=\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{4}(2-1)-4+1=-1$ получается что-то не то. Может кто объяснить где я делаю не так? Или надо совсем по-другому?

[MChagall]

Кажется, получилось. Вот что:
в окрестности $z=0$ наша функция распадается на две двузначные аналитические функции. Значит в ней ДВЕ точки ветвления порядка 2;
с $z=1$ и $z=\infty$ аналогично то же самое.
В итоге, $g=\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{6}(2-1)-4+1=0$. Скажите кто-нибудь, попал я, наконец?

[DeBill]

MChagall
Теперь - да.

[MChagall]

DeBill
Ну спасибо!

Продолжим.
3) Количество листов - 4.
$z=0$ - две точки второго порядка
$z=1$ - одна точка второго порядка
$z=\infty$ - точка четвёртого порядка.
В итоге $g=0$. Верно это?

[DeBill]

MChagall в сообщении #1309355 писал(а):

На это стоит обращать внимание или нет?

Обязательно. Порядки ветвления для таких сложных точек можно определять также по локальной параметризации (а ее строить по диаграмме Ньютона, например. При этом неприятности также могут иметь место - связанные с кратными корнями соответствующих укорочений - что и имело отдельное место на бесконечности)

-- 03.05.2018, 01:35 --

MChagall в сообщении #1309588 писал(а):

Верно это?

Да. Этот пример уже где-то обсуждался эдесь ранее.

[MChagall]

2) Здесь что-то застопорился. У меня получилась 8-ми листная поверхность. Точки ветвления
$z=0$ - две точки четвёртого порядка.
$z=\infty$ - ну то же самое (две четвёртого порядка).
Но тогда $g=-1$. В каком месте ошибаюсь?

[DeBill]

Видимо, Ваш многочлен 8-й степени реально приводим...И распадается на пару- один из которых и есть ваш...

(Оффтоп)

Можно - домножить на "сопряженное ко второй скобке " - и получить многочлен 4-й степени

-- 03.05.2018, 02:03 --

Т.е., от балды можно выписать 8 элементов для вашего безобразия. Они распадаются на две четверки, каждая из которых и есть аналитическая функция.

[MChagall]

DeBill в сообщении #1309599 писал(а):

Они распадаются на две четверки, каждая из которых и есть аналитическая функция

Ну да, у меня так и получилось. Поэтому и взял две точки четвёртого порядка.
А получается, что у меня здесь две аналитические функции? И каждая имеет свою поверхность? Тогда они четырёхлитсные. И в нуле и бесконечности по точке четвёртого порядка. И род каждой нулевой. Так выходит?

[пианист]

На всякий случай: есть теорема для расчета рода алгебраической кривой.
На плоскости каждому одночлену $z^nw^m$ ставим точку $(n,m)$, натягиваем выпуклую оболочку на то, что получилось.
Число целочисленных точек строго внутри этой оболочки - искомый род.

[MChagall]

Задача 4).
$w=\sqrt[m]{1-z^n}=\sqrt[m]{-(z-z_1)}\sqrt[m]{z-z_2}...\sqrt[m]{z-z_n}$, где $z_i$ - корни n-й степени из 1.
Тогда количество листов равно $m$, $z_i$ - точки ветвления, каждая порядка $m$.
В итоге $g=n(m-1)-m+1=mn-(m+n)+1$.
Верно это?

[пианист]

$g$ род? тогда что-то не то: для $n=m=3$ получаем по Вашей формуле $g=4$, в то время как это будет кубика с родом, очевидно, 1.

[DeBill]

MChagall
Забыли про: бесконечноудаленную точку; половинку; взаимно-простоту $m,n$ - это скажется на ветвлении в бесконечности. И что же у вас реально будет для кубики?

-- 03.05.2018, 16:15 --

Для самопроверки: ответ должен быть: целым; симметричным

-- 03.05.2018, 16:18 --

пианист
Теорема - для типичных многочленов с данной диаграммой Ньютона; при нарушении условий типичности, род, вроде бы, может упасть....

[пианист]

Мне казалось, что никаких больше условий там нет.
Но не буду спорить, вполне могу и ошибаться - я даже не могу вспомнить, откуда я про этот факт (или "факт") из жизни алгебраических кривых знаю ;)

[DeBill]

пианист в сообщении #1309773 писал(а):

вполне могу и ошибаться - я даже не могу вспомнить, откуда я про этот факт

Ага, я тоже. А факт мне встретился в популярной статье Хованского в журнале "Глобус, вып.3"- но -счас посмотрел: там нет ссылок, и излагается как общеизвестное....