Род поверхности

[Someone]

Конечно неверно. Откуда там $8$ взялось? Вы учебник откройте и посмотрите, какой там коэффициент.

[MChagall]

Ну как же? Беру $z=e^{i\varphi+2\pi i k}$, возвожу в четвёртую степень.
$z^4=e^{4 i\varphi+8\pi i k}$. Уже здесь неверно?
А далее извлекаю корень.

[Someone]

MChagall в сообщении #1311795 писал(а):

возвожу в четвёртую степень

Причём тут четвёртая степень, если речь идёт о корне шестой степени?

[MChagall]

Ну я работаю с функцией $\sqrt[6]{z^4}$. Беру $z=e^{i\varphi+2\pi i k}$, возвожу в 4-ю степень.
$z^4=e^{4 i\varphi+8\pi i k}$. Далее извлекаю корень. $\sqrt[6]{z^4}=e^{\frac{4i \varphi}{6}+\frac{8 \pi i k}{6}}$.
Ну в каком месте я ошибаюсь?

[Someone]

Ну Вы напишите же наконец формулу для корня шестой степени.
Тогда и будет видно, где ошибаетесь.

[MChagall]

$\sqrt[6]{re^{i\varphi}}=\sqrt[6]{r}e^{\frac{i\varphi}{6}+\frac{2\pi i k}{6}}$. Ну уж тут-то должен попасть!

[Someone]

Совершенно верно. Как видим, при вычислении корня шестой степени аргумент имеет слагаемое вида $\frac{2\pi k}6=\frac{\pi k}3$. А у Вас этого слагаемого нет.

Ошибка Ваша состоит в том, что, зачем-то приписав перед возведением в четвёртую степень к аргументу числа $z$ слагаемое $2\pi k$ (это вполне законно, но не нужно), Вы вдруг решили, что это $k$ — то самое, которое присутствует в формуле для вычисления корня. А это другое $k$, и обозначить одно из этих двух $k$ следовало другой буквой.

На всякий случай: $\sqrt[n]{z^n}$ совсем не обязательно равно $z$. В отличие от $\left(\sqrt[n]{z}\right)^n$, которое по определению корня обязано равняться $z$.

[MChagall]

С извлечением корня шестой степени разобрался.
Но получается
$f_1=e^\frac{2i\varphi}{3}$
$f_2=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{i\pi}{3}}$
$f_3=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{2i\pi}{3}}$
$f_4=e^{\frac{2i\varphi}{3}+i\pi}$
$f_5=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{4i\pi}{3}}$
$f_6=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{5i\pi}{3}}$
Но ведь это одна точка шестого порядка, а не две третьего. Где я что не вижу/делаю не так?

[Someone]

А теперь "походите" вокруг этой точки и посмотрите, как изменяется значение функции $f(z)=\sqrt[6]{z^4}$. Вот здесь как раз ваше "второе" (точнее, оно у Вас "первое") $k$ и пригодится. Только другой буквой его обозначьте.

[MChagall]

Получается странность какая-то.
$f_7=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{2i\pi}{3}+2i\pi}=f_3$
Далее пойдёт $f_4, f_5, f_6$. Потом $f_5, f_6$. И снова начиная с $f_1$ этот же длинный цикл. Что это такое? К первому элементу я вернусь через 12 витков вокруг нуля, но сделав при этом каких-то три больших цикла (витка). Как с этим разобраться? Это и есть точка порядка 3?

[Someone]

Что-то странное Вы насчитали. На сколько изменится аргумент функции $f(z)=\sqrt[6]{z^4}$, если аргумент $z$ увеличить на $2\pi$?

[MChagall]

На $\frac{4 \pi}{3}$ ?

[MChagall]

Нет. На $\frac{5 \pi}{3}$ ?

[Someone]

MChagall в сообщении #1311881 писал(а):

На $\frac{4 \pi}{3}$ ?

MChagall в сообщении #1311886 писал(а):

Нет. На $\frac{5 \pi}{3}$ ?

Вы в "угадайку" играете? Есть же формулы.

[MChagall]

$z=e^{i\varphi+2\pi il}$
$z^4=e^{4i\varphi+8\pi il}$
$\sqrt[6]{z^4}=e^{\frac{2i\varphi}{3}+\frac{4\pi il}{3}+\frac{\pi ik}{3}}$.
Здесь не обманываю(сь)?
При обходе вокруг нуля $k$ увеличивается на $1$. А $l$ не могу сообразить увеличивается или нет?