Аксиома полноты и бесконечные двоичные последовательности

[Shizofrenik]

Рассмотрим множество всех бесконечных двоичных последовательностей с введённым на нём лексикографическим порядком (последовательности $s_1 = x011111...$ и $s_2 = x100000...$ cчитаются различными, $s_2 > s_1$. Верна ли в нём "аксиома полноты"?
Я начал решать задачу, не приняв во внимание оговорку про последовательности $s_1 = x011111...$ и $s_2 = x100000...$. Там всё очевидным образом через лемму о вложенных отрезках свелось к аксиоме полноты в вещественных. Мне на ошибку указали. Я стал думать над новым решением (мне почему-то кажется, что она выполняться не должна), придумалось только следующее: было бы хорошо опереться на то, что есть некие последовательности, "между которыми пусто", т.е. найдётся бесконечное множество пар последовательностей $s_i, s_j$, для которых нету последовательности $q$ такой, что $s_i < q < s_j$ (или $s_i > q > s_j$). Ну а дальше совсем непонятно. Помогите, пожалуйста, найти контрпример (его наличие представляется мне вероятным) или привести доказательство.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[george66]

По-моему, получается отрезок $[0,1]$ в котором некоторые числа "удвоены" (например, $1/2$ можно записать двумя способами)

$1000\ldots$

$0111\ldots$

Порядок остаётся линейным и полным. Разрывов счётное число (на числах вида $x1000\ldots$) Супремум подмножества вычисляем как для действительных чисел, если же получается двоично рациональное (число вида $x1000\ldots$), там простая дополнительная проверка, которое из двух брать.

[Shizofrenik]

george66 в сообщении #1311286 писал(а):

По-моему, получается отрезок $[0,1]$ в котором некоторые числа "удвоены" (например, $1/2$ можно записать двумя способами)

$1000\ldots$

$0111\ldots$

Порядок остаётся линейным и полным. Разрывов счётное число (на числах вида $x1000\ldots$) Супремум подмножества вычисляем как для действительных чисел, если же получается двоично рациональное (число вида $x1000\ldots$), там простая дополнительная проверка, которое из двух брать.

Большое спасибо, но появилось два вопроса:
1. Какая именно проверка, какое из двух брать?
2. Почему Ваши соображения приводят к тому, что аксиома полноты для бесконечных бинарных последовательностей верна?

[george66]

Допустим, получился супремум $1/2$
Если в подмножество входит $1000\ldots$, берём его, а если не входит, берём $0111\ldots$

[Shizofrenik]

george66
Ещё большее спасибо. Но, всё же, почему Ваши соображения приводят к тому, что аксиома полноты для бесконечных бинарных последовательностей верна?

[george66]

Потому что у каждого подмножества есть супремум и я рассказал, как его вычислять.

[george66]

Вспомнил, эта штука называется "канторов дисконтинуум", почитайте про него. Всё, что я сказал выше, остаётся верным.