Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1311538 писал(а):

Узнать.

Комплексное $L_2$ (и вообще $L_p$) определяется так же как вещественное, только функции, входящие в это пространство, могут принимать комплексные значения (при этом аргументы у них всё равно вещественные!)

В вещественном $L_2(a,b)$ скалярное произведение такое:

$$ (f,g)=\int\limits_a^bf(x)g(x)dx, $$

а в комплексном - такое:

$$ (f,g)=\int\limits_a^bf(x)\overline{g(x)}dx, $$

т.е. $g(x)$ под знаком комплексного сопряжения.

(Интегрирование здесь везде, вообще говоря, по Лебегу.
Всё это легко распространяется на случай пространств функций нескольких аргументов, типа $L_p(\mathbb{R}^n)$ или $L_p(\Omega)$, где $\Omega$ - область в $\mathbb{R}^n$.)

Это нужно, в частности, для того чтобы выполнялось

$$ (f,f)=\int\limits_a^b|f(x)|^2dx=\|f\|^2. $$

И, конечно, чтобы удовлетворялись аксиомы скалярного произведения - в комплексном случае они немного другие, чем в вещественном. Видно, например, что в комплексном случае скалярное произведение несимметрично: $(f,g)\neq(g,f)$.

Что-то подобное имеет место уже в конечномерных комплексных пространствах. Например, скалярное произведение в $\mathbb{C}^n$ имеет вид

$$ (x,y)=\sum\limits_{k=1}^nx_k\overline{y_k}, $$

где $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\ldots,y_n)$.

Для квантовой механики важно ещё изучить, что такое спектр линейного оператора, чем дискретный спектр отличается от непрерывного, и какими особенностями обладает спектр самосопряжённых операторов. Эта теория про спектр обычно формулируется только для комплексных пространств.
Например, в конечномерном случае спектр - это множество собственных значений оператора. В бесконечномерном сложнее.

На знание квантовой механики не претендую (только на знание функционального анализа).
Но если по теме, то довольно симпатичной кажется книжка
Иванов. Как понимать квантовую механику
Её тут советовали в разных темах, и мне она тоже нравится, так что советую без опаски.

[arseniiv]

(Aritaborian)

Aritaborian в сообщении #1311539 писал(а):

А в каких произведениях Иган более тщательно подходит к использованию идей квантовой механики? Я пока что не так уж много его читал.

Ну, он не пренебрегает декогеренцией явным образом в той же «Лестнице Шильда» и чём-то там ещё, но описание обычно не погружается достаточно глубоко в кванты, чтобы стоило о них говорить и чтобы обсуждать декогеренцию в тексте. Вот в трилогии «Orthogonal» достаточно интересно и довольно наглядно выстроена история открытия релятивистских и квантовых теорий (но для другой сигнатуры пространства-времени). Забыл, додумались ли там до декогеренции или тот кусок специально опущен.

Не, Иган умница, но не думаю, что здесь его нужно предлагать. Это всё-таки больше художественное.

Кстати я тоже присоединяюсь к совету ФЛФ, читал как раз те части и понравилось.

Anton_Peplov в сообщении #1311531 писал(а):

проекторы, тензорное произведение - совсем не знакомые мне слова.

Кстати, по поводу первого можно прямо в теме: проектор $P$ — это (линейный) оператор, проецирующий элемент на подпространство (ортогональный проектор — ортогонально), и это оказывается возможным выразить очень просто как $P^2 = P$. Отсюда легко при наличии времени вывести разные их свойства. Например, собственные числа и векторы. Для каждого подпространства ортогональный проектор на него единственен, так что их можно использовать вместо — например, вместо одномерных подпространств, соответствующих квантовым состояниям. Через ортогональные же проекторы можно выразить соотношение соответствующих подпространств: если сумма некоторого набора проекторов даёт тождественный оператор 1, значит, подпространства ортогональны.

Я понимаю, непосредственным объяснениям тут не место, потому всё.

[pogulyat_vyshel]

Mikhail_K в сообщении #1311547 писал(а):

На знание квантовой механики не претендую (только на знание функционального анализа).

Не подскажите ли мне тогда, как доказать, что $L^3(0,1)$ изоморфно некоторому факторпространству вида $\ell_1/?$

-- 10.05.2018, 23:38 --

Уточню на всякий случай. Доказать, что существует замкнутое подпространство $M\subset\ell_1$ такое, что $\ell_1/M$ изоморфно $L^3(0,1)$

[Anton_Peplov]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311559 писал(а):

Не подскажите ли мне тогда

Очень прошу любые обсуждения, не имеющие прямого отношения к теме текущего топика, заводить в других топиках. Модераторов жалко, им потом получившуюся окрошку по кусочку разбирать. А им, между прочим, за это денег не плотют.

[Munin]

Anton_Peplov
Ужас какой. Зря вы упомянули бесконечномерность.

Внимание, бесконечномерность вам сейчас отнюдь не принципиальна. Хотя многие могут начать вас бурно убеждать в обратном. А вот комплекснозначность - крайне нужна.

На понятия базиса, оператора, с.з.-с.в. она не оказывает большого влияния. Но скалярное произведение имеет такое свойство:

$\langle x|y\rangle=(\langle y|x\rangle)^*$ (в физике так обозначается комплексное сопряжение),

так что

$\langle x|x\rangle\in\mathbb{R}$

и $\sqrt{\langle x|x\rangle}$ можно называть длиной вектора.

Соответственно, меняются понятия ортогональных векторов ($\langle x|y\rangle=0$) и ортогональных преобразований - унитарные преобразования - это такие, которые сохраняют скалярные произведения, и соответственно, длины векторов.

Роль самосопряжённых операторов и матриц в КМ играют эрмитовы операторы (по крайней мере, так их называют в физических учебниках по КМ). Эрмитова матрица $A=(A^*)^\mathrm{T},$ и на её диагонали стоят чисто мнимые числа (в т. ч. нули).

[Anton_Peplov]

Munin
Спасибо. Да, всё Вами сказанное про комплекснозначность тоже есть в "Линейной алгебре" Ильина и Позняка, и я это даже когда-то конспектировал (ещё в тетрадку), но с тех пор ни разу не применял и поэтому всё забыл, лет-то прошло много. Думаю, заглянуть в книжку и вспомнить не составит большого труда.

[Munin]

Пожалуйста, приведите примеры:
- матрицы эрмитова оператора в 2-мерном и 3-мерном пространстве;
- матрицы унитарного оператора в 2-мерном и 3-мерном пространстве.
Найдите определение матриц Паули, и опишите пространство, базисом которого они являются.

[lel0lel]

Munin в сообщении #1311574 писал(а):

Эрмитова матрица $A=(A^*)^\mathrm{T},$ и на её диагонали стоят чисто мнимые числа (в т. ч. нули).

Тут, очевидно, опечатка.

[Walker_XXI]

Anton_Peplov в сообщении #1311409 писал(а):

Вот я нагуглил такой рассказ про квантовую запутанность на Geektimes. Ему можно доверять?

Ужасный рассказ. Понять, что хотел сказать автор, можно только зная КМ и всё то, о чём рассказывается. Дурацкая терминология ("пирожные"/"квантожные") и взятые с потолка корреляции цвета и формы придуманных объектов (вместо корреляции свойств реальных квантовых объектов, обусловленной законами сохранения) только запутывают дело. Ну а когда разговор заходит о "множественности миров в КМ" и о коте Шрёдингера, то повествование идёт на грани полубреда.

В плане альтернативного (данному "рассказу") чтива присоединюсь к советам предыдущих ораторов: Иванов, "Как понимать КМ". Или менее строгая и более попсовая книга Пенроуза "Путь к реальности..."

[talash]

Anton_Peplov в сообщении #1311409 писал(а):

Однако я столько лет слышу слова про квантовую запутанность, квантовую телепортацию и так далее, что в определённый момент мне стало невтерпёж представить себе, о чём речь, хотя бы на уровне научпопа.

Аналогичная история, вот когда-то заводил тред topic87318.html Но так и не доразобрался. Пришёл к выводу, что надо начинать с интерпретации КМ, потом идти в запутанность. Есть такая интерпретация "заткнись и считай", но она мне не подходит, потому что не владею матаппаратом.

[AnatolyBa]

Я бы хотел обратить внимание на книгу Гринштейн, Зайонц. Квантовый выбор.
Там почти нет математики. И вообще нет ничего о том, как квантовая механика работает практически - в атомной физике и т. д.
Т. е. это не учебник.
Но рассматриваются болевые точки - запутанность, коты, измерения, смысл волновой функции. Немного о квантовой информатике и криптографии

[Munin]

lel0lel в сообщении #1311581 писал(а):

Тут, очевидно, опечатка.

Да, спасибо огромное! Заговариваюсь. (А если бы её заметил ТС, было бы совсем хорошо...)

-- 11.05.2018 10:40:49 --

talash в сообщении #1311636 писал(а):

Пришёл к выводу, что надо начинать с интерпретации КМ, потом идти в запутанность.

Вывод ошибочный. Надо начинать с самой КМ.

[warlock66613]

Walker_XXI в сообщении #1311601 писал(а):

более попсовая книга Пенроуза "Путь к реальности..."

Не знаю, что вы имеете в виду под "попсовостью", но лёгким чтением эту книгу назвать сложно.

[Aritaborian]

Walker_XXI в сообщении #1311601 писал(а):

Или менее строгая и более попсовая книга Пенроуза "Путь к реальности..."

Менее строгая? Более попсовая? Вы точно не путаете её с какой-либо иной книгой? Это ж серьёзнейший учебник весом в три кило. Никакой попсовостью там не пахнет. Ладно, строгость в ней может и не на уровне Зорича, но называть эту книгу попсовой попросту нелепо.

[Anton_Peplov]

Sorry, вчера совершенно не было времени добраться до форума.

Munin в сообщении #1311580 писал(а):

Пожалуйста, приведите примеры:
- матрицы эрмитова оператора в 2-мерном и 3-мерном пространстве;

Это легко. Зафиксируем ортонормированный базис. Тогда любая эрмитова матрица будет матрицей некоторого эрмитова оператора. Примеры эрмитовых матриц:

$$\left ( \begin{matrix} 1 &i \\ -i & 2 \end{matrix} \right ) $$

$$\left ( \begin{matrix} 1 &1+i&i \\ 1-i & 2&5+i\\ -i & 5-i &3 \end{matrix} \right ) $$

Munin в сообщении #1311580 писал(а):

матрицы унитарного оператора в 2-мерном и 3-мерном пространстве

С этим не справился.
Матрица унитарного оператора в ортонормированном базисе, она же унитарная матрица - это такая матрица $A$, что $\bar A^T = A^{-1}$. Я, разумеется, помню рецепт построения обратной матрицы (составить матрицу алгебраических дополнений, транспонировать, разделить на определитель исходной матрицы). Но это столь громоздкая процедура, что я не в силах заранее предсказать её результат. То есть я не могу подобрать матрицу $A$ такой, чтобы обратная к ней имела какие-то заданные свойства. Может быть, имеются какие-то более простые рецепты построения именно унитарных матриц?

Munin в сообщении #1311580 писал(а):

Найдите определение матриц Паули, и опишите пространство, базисом которого они являются.

Сейчас посмотрю, что это за зверь.

talash в сообщении #1311826 писал(а):

О том, как КМ начиналась.

Извините, но я предпочёл бы, чтобы советы по поводу того, как освоить квантовую механику, мне давали люди, уже освоившие квантовую механику.