Ряды Фарея и гипотеза Римана

[maximk]

Помогите пожалуйста найти ошибку в случае её присутствия. Надеюсь, что не допустил ошибки при наборе текста.

Далее будем использовать факты, полученные в статье Стечкина "Ряды Фарея" ((1'), (2'), (1*), (1**), (3*), (3)).
Пусть $n\in\mathbb{N}$, $F_n=\left\lbrace\frac{a}{b} | a, b \in \mathbb{N}, 1 \leqslant a\leqslant b\leqslant n, (a,b)=1\right\rbrace$ - ряд Фарея порядка $n$.
Будем считать, что $w_\nu \in F_n$ упорядочены по возрастанию.
Примеры:
$F_3=\left\lbrace\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 1\right\rbrace$,
$F_4=\left\lbrace\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{4}, 1\right\rbrace$.

Имеем $|F_n|=\varphi(1)+\varphi(2)+...+\varphi(n)$, где $\varphi(k)$ - функция Эйлера.

Обозначим $\delta_\nu=\omega_\nu-\frac{\nu}{\Phi}$, $\Phi=|F_n|$, $\omega_\nu \in F_n$ ($\nu=1, ..., \Phi$).

(1') Положим $S_p (n)=(\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}|\delta_\nu|^p)^{1/p}$ ($1\leqslant p<\infty$).

Нам потребуется известная формулировка гипотезы Римана в следующем виде:

(2')$RH \Longleftrightarrow S_2 (n)=O_\varepsilon (n^{-1/2 + \varepsilon})$ ($\forall \varepsilon>0$).

Лемма. Пусть $F_n = \left\lbrace \omega_1, \omega_2, ..., \omega_N\right\rbrace$ - последовательность Фарея, содержащая $0=\omega_1$, $|F_n|=N=\Phi+1$. Тогда $\sum\limits_{\nu=1}^{N}\omega_\nu=\frac{N}{2}$.

Доказательство:
Имеем $|F_n|-1=\sum\limits_{k=1}^{n} \varphi(k)$.
По определению $F_n$ каждая дробь из $F_n \backslash F_{n-1}$ имеет один из двух видов: $\frac{m}{n}, \frac{n-m}{n}$, где $m$ - такое целое число, что $0<m<n$ и числа $m$ и $n$ взаимно просты, т.е. $(m.n)=1$.

Тогда (1)'

$2\sum\limits_{\omega \in F_n \backslash F_{n-1}} \omega=\sum\limits_{(m,n)=1}(\frac{m}{n}+\frac{n-m}{n})=\sum\limits_{(m,n)=1}1=\varphi(n)$.

Перед первой суммой стоит коэффициент $2$, поскольку каждая дробь во второй сумме встретится дважды. Т.к.

(2)' $F_n=F_n \backslash F_{n-1} \cup F_{n-1} \backslash F_{n-2} \cup ... \cup F_3 \backslash F_2 \cup F_2 \backslash F_1 \cup F_1$, то с учётом, что $|F_1|=2$, $0 \in F_1$, используя индуктивные соображения, получим

(3)' $|F_n|=\sum\limits_{k=2}^{n}|F_k \backslash F_{k-1}|+1=\sum\limits_{k=1}^{n}\varphi(k)$.

Далее из равенств (2)', (3)' с учётом (1)' получим

$2\sum\limits_{\omega \in F_n} \omega=\sum\limits_{k=1}^{n}2\sum\limits_{\omega \in F_k \backslash F_{k-1}}\omega=\sum\limits_{k=1}^{n}\varphi(k)=|F_n|$. Что и требовалось.

Примечание. Далее будем предполагать, что $0 \notin F_n$.

Теорема.

$S_2 (n) > Cn$, где $C=\operatorname{const}$.

Доказательство.

(1*) $\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi} \delta_\nu^2=\Phi^{-1}(\int\limits_{0}^{1} E^2(t) dt - \frac{1}{12})$, где

$E(t)=\sum\limits_{ \omega_\nu\leqslant t} 1 -t\Phi+\frac{1}{2}$, где $\omega_\nu \in F_n$ (далее будем молча предполагать, что $\omega_\nu \in F_n$).

(1**)$\sum\limits_{\nu=1}^{m}\delta_\nu=\int\limits_{0}^{\omega_m}E(t)dt-\frac{\Phi}{2}\delta_m^2+\frac{1}{2}\delta_m$ $\Rightarrow$ при $m=\Phi$

(~) $\frac{\Phi+1}{2}=\int\limits_{0}^{1}E(t)dt-\frac{\Phi}{2}(1-1)^2+\frac{1}{2}\cdot0=\int\limits_{0}^{1}E(t)dt$ (использовали лемму и тот факт, что $\delta_\Phi=0$, т.к. $\omega_\Phi=1$) $\Rightarrow$

(2*) $\int\limits_{0}^{1}E(t)dt=\frac{\Phi}{2}+\frac{1}{2}=\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1-t\Phi+\frac{1}{2})dt=\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt-\frac{\Phi}{2}+\frac{1}{2}$.

Т.к. (3*)

$E(t)=\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1 -t\Phi+\frac{1}{2}$, то

$E^2(t)=(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)^2+(\frac{1}{2}-t\Phi)^2+2(\frac{1}{2}-t\Phi)(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)$ $\Rightarrow$

(1) $\int\limits_{0}^{1}E^2(t)dt=\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)^2dt+\frac{1}{4}+\frac{\Phi^2}{3}-\frac{\Phi}{2}+\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt -2\Phi\int\limits_{0}^{1}t(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt$.

(~) $\&$ (2*) $\Rightarrow$

(2) $\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt=\Phi$.

Интегрируя по частям (беря $u=t$ в известной формуле), получаем

(*) $\int\limits_{0}^{1}t(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt=\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt-\int\limits_{0}^{1}(\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt)dt=0$.

Имеем
(**) $\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)^2dt \geqslant \sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}(\sum\limits_{\omega_k \leqslant \omega_\nu}1)^2 \geqslant \sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}\sum\limits_{\omega_k \leqslant \omega_\nu}1= \sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}|\left\lbrace\omega_1, \omega_2, \omega_3, ..., \omega_\nu\right\rbrace|=\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}\nu=\frac{\Phi(\Phi+1)}{2}$ для $\omega_k \in F_n$.


(1) $\&$ (2) $\&$ (*) $\&$ (**) $\Rightarrow$

$\int\limits_{0}^{1} E^2(t)dt \geqslant \frac{\Phi^2}{2} + \frac{\Phi}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\Phi^2}{3}-\frac{\Phi}{2}+\Phi-2\Phi\cdot0=\frac{5}{6}\Phi^2+\Phi+\frac{1}{4} \Rightarrow$ с учётом (1*) имеем

$\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}\delta_\nu^2=\Phi^{-1}(\int\limits_{0}^{1}E^2(t)dt-\frac{1}{12}) \geqslant \Phi^{-1}(\frac{5}{6}\Phi^2+\Phi+\frac{1}{4}-\frac{1}{12})=\frac{5}{6}\Phi +1 + \frac{1}{6\Phi} \Rightarrow$ с учётом (1')

$S_2(n)=(\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}|\delta_\nu|^2)^{1/2}=(\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}\delta_\nu^2)^{1/2} \geqslant(\frac{5}{6}\Phi +1+\frac{1}{6\Phi})^{1/2}>Cn$, $C=\operatorname{const}$, т.к.

(3) $\Phi(n)=\frac{3n^2}{\pi^2}+O(n\ln n)$.

Тогда имеем $\neg RH$, т.к. (2').

[mihiv]

Но (2') означает, что : $S_2(n)<Cn^{-\frac 12+\varepsilon }$, а вы доказали другое.

[maximk]

mihiv, верно. Но разве то, что я показал, не противоречит истинности $RH$ (опять же см. (2'))? Т.е. не противоречит ли моё окончательное неравенство тому, что привели вы?

[mihiv]

А, понятно, т.е. вы доказываете, что $RH$ неверна.

[maximk]

Да, верно, доказываю $\neg RH$.

[maximk]

(Оффтоп)

Если актуально, можно последовать предложенной мне идее отправить тему в раздел "Дискуссионные темы", если долгое время здесь никто не укажет на ошибку.

[Null]

По моему $(*)$ и $(**)$ - неправда

[maximk]

Да, возможно. Я над этим думал, но так и не смог понять, почему это неправда, где конкретно ошибка.
Давайте сначала попытаемся разобраться например с (*) (если хотите, можно сначала с (**)).
Я так понимаю, что сомнение вызывает $\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t} 1)dt$ после знака равенства (в (*))?

[Null]

$\int\limits_{0}^{1}t(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt=0$. Интеграл от положительной величины равен 0, это странно.

[Nik_Nikols]

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1311631 писал(а):

Я так понимаю, что сомнение вызывает $\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t} 1)dt$ после знака равенства (в (*))?

$(\ast)$, средний терм, второе слагаемое, внутренний интеграл, пределы интегрирования.

[maximk]

Да, похоже на то, что и (*), и (**) ошибочны.

Предлагаю альтернативу. Еще попытка.
Будем использовать две известные леммы.
Лемма 1.
Для любых монотонных на $[a,b]$ функций $f$ и $g$
$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\int\limits_{a}^{b}g(x)dx\leqslant (b-a)\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx$.

Лемма 2.
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$, а функция $g(x)$ не меняет знака на $[a, b]$, тогда $\exists \xi \in [a, b]: \int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int\limits_{a}^{b}g(x)dx$.

Т.к. $A(t)=\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t} 1$ (назовём эту функцию так) монотонна на $[0, 1]$, то положив $f(x)=g(x)=\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t} 1=A(t)$, $[a, b]=[0, 1]$ в лемме 1, имеем

(*) $\int\limits_{0}^{1}A^2(t)dt=\int\limits_{0}^{1}A(t)\cdot A(t)dt \geqslant \frac{1}{1-0}\int\limits_{0}^{1}A(t)dt\int\limits_{0}^{1}A(t)dt=(\int\limits_{0}^{1}A(t)dt)^2=$, в силу (2), $=\Phi^2$.

Т.к. функция $g(t)=t$ не меняет знака на $[0, 1]$, а функция $f(t)=A(t)$ непрерывна на $(0, \omega_1)$ и на $(\omega_\nu, \omega_{\nu+1})$ $\forall \nu \in \left\lbrace1, ...,\Phi-1\right\rbrace$, а $\int\limits_{0}^{1}tA(t)dt=\int\limits_{0}^{\omega_1}tA(t)dt+\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi-1}\int\limits_{\omega_\nu}^{\omega_{\nu+1}}tA(t)dt$, то по лемме 2
$\exists \xi \in [0, \omega_1]: \int\limits_{0}^{\omega_1}tA(t)dt=A(\xi)\int\limits_{0}^{\omega_1}tdt$ $\& \forall \nu \in \left\lbrace1, ..., \Phi-1\right\rbrace \exists \xi_\nu \in [\omega_\nu, \omega_{\nu+1}]: \int\limits_{\omega_\nu}^{\omega_{\nu+1}}tA(t)dt=A(\xi_\nu)\int\limits_{\omega_\nu}^{\omega_{\nu+1}}tdt$, причем $\xi \leqslant 1 \& \forall \nu \in \left\lbrace1, ..., \Phi-1\right\rbrace \xi_\nu \leqslant 1 \Rightarrow \int\limits_{0}^{1} tA(t)dt=\int\limits_{0}^{\omega_1}tA(t)dt+\int\limits_{\omega_1}^{\omega_2}tA(t)dt+...+\int\limits_{\omega_{\Phi-1}}^{\omega_\Phi}tA(t)dt \leqslant A(1)(\int\limits_{0}^{\omega_1}tdt+\int\limits_{\omega_1}^{\omega_2}tdt+...+\int\limits_{\omega_{\Phi-1}}^{\omega_\Phi}tdt)=A(1)\int\limits_{0}^{1}tdt=\frac{A(1)}{2}=\frac{\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant 1}1}{2}=\frac{\Phi}{2}$
(**).

В итоге по аналогии с предыдущей попыткой доказательства можем с учётом этих оценок и (2) рассмотреть (1) и получить $\neg RH$ (если попытка успешна).

[maximk]

(Оффтоп)

Предлагаю переместить тему в раздел "Дискуссионные темы". На ошибку не указывают уже неделю, выдерживают интригу.

[RIP]

(Оффтоп)

Вникать лень, но Ваша теорема заведомо неверна: известно, что $\lim\limits_{n\to\infty}S_2(n)=0$ (это в некотором смысле эквивалентно асимптотическому закону распределения простых чисел, и в статье Стечкина это, вроде, упоминается).

[Pphantom]

maximk, замечание за повторный искусственный подъем темы бессодержательным сообщением. На будущее, пожалуйста, учтите, что отсутствие интереса к теме и отсутствие ошибок - это разные вещи.

[maximk]

Подскажите пожалуйста, где ошибка.

Имеем следующую вариацию формулы Эйлера-Маклорена (взял из книги Карацубы "Основы аналитической теории чисел").

$\sum\limits_{a}^{b} f(x) = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx + \rho (b) f(b) - \rho (a) f(a) - \int\limits_{a}^{b} \rho(x)f'(x)dx$. Здесь достаточно, чтобы $f(x)$ была непрерывно дифференцируема на $[a,b]$.

$\int\limits_{0}^{1} ({\rho (x)}^{3})'dx=\int\limits_{0}^{1}3\rho^2(x) \rho'(x)dx=\rho^3(1)-\rho^3(0)$.

Выражаю $\int\limits_{0}^{1} \rho^2(x)\rho'(x)dx$, подставляю в первую формулу при $a=0$, $b=1$, откуда получаю

$\int\limits_{0}^{1} \rho^2(x)dx=\rho^2(0)+\rho^2(1)-(1/3)(\rho^3(1)-\rho^3(0))=5/12$.

Но это противоречит известному результату:

$\int\limits_{0}^{1} \rho(kt)\rho(lt)=(k,l)^2/(12kl)$ для натуральных $k$ и $l$, ибо этот интеграл равен $1/12$ при $k=l=1$.

(Оффтоп)

Сначала формулы отображались как нужно, но после добавления определения функции "ро от икс" (разница между дробной частью числа $x$ и $1/2$) половина перестала принимать нужный вид. Почему такое может происходить? Сначала добавил описание этой функции рядом с использованием первой формулы (описание (и только оно) не отображалось корректно. Пробовал использовать обозначения: {x}, $[x]$). Потом использовал преимущественно словесное определение. После чего перенёс описание в самый конец текста - половина текста потеряла рабочий вид. Даже убрал использование $\frac{a}{b}$.