Справочник систем счисления

[arseniiv]

Есть где-нибудь справочник всевозможных систем счисления, желательно без упоминания исторических (типа египетской, вавилонской, греческой и т. п.). А то иногда натыкаешься на что-то не очень-то тривиальное типа биномиальной, факториальной или системы с основанием $i-1$ и хочется иметь более полный обзор. Сегодня я узнал, что есть целая куча систем с комплексным основанием. Точно так же как когда-то давно я узнал, что унарная система — это не курьёз среди обычных позиционных, а представитель другого класса «биективных» (я считаю название неудачным, но какое есть, своего варианта получше для популяризации не придумал) систем с цифрами $1..b$ вместо $0..b-1$.

Так вот где-то кто-то наверняка стал собирать их — Слоан десятилетия назад стал копить последовательности, и даже если до него не успели, он мог сподвигнуть других на собирание каталога чего-нибудь ещё, в том числе систем счисления.

Wikipedia я уже читал, только что оттуда.

[arseniiv]

По просьбам из ЛС можно ослабить условие на естественные нумерации. Причиной так резко написать было следующее:

Цитата:

Им уделяется и так достаточно внимания, по-моему. Вообще, я хотел сказать, что лучше чтобы были какие-то хитрые, чем эти. Если и те, и те — ну пускай. Но «естественных» систем уж больно много, и они не составляют последовательностей.

[Andrey A]

arseniiv в сообщении #1310841 писал(а):

... типа биномиальной, факториальной,

Чтобы получить знаки разложения натурального $m$ в факториальной системе счисления в обратном порядке, начиная с последнего, нужно записывать остатки от деления $m$ на $2$, полученного частного на $3$, и т.д. Поэтому $n$-ый знак с конца в ней не превышает $n$. Можно сочинить праймориальную систему счисления, в которой $n$-ый знак с конца не будет превосходить $n$-ого простого без единицы, и от любой другой последовательности, даже не обязательно возрастающей. Надо бы подобные системы выделить в отдельный класс, в том числе и десятичную. Однако же в десятичной каждый знак разложения $\sqrt{2}$ не превышает $9$, а в факториальной, логически мысля, может оказаться любым (кроме первого), поскольку последнего знака не существует. Как в непрерывных дробях, в этом нет противоречия, но не знаю возможно ли сие. Читал также у Воробьева о фибоначчиевой системе счисления - это как раз для каталогов, упоминаний и т.д.

[grizzly]

Вот здесь обещают полное описание комплексно-значных систем счисления. А ещё, бонусом, исчисления бОльших размерностей (если комплексные считать двумерными).

Здесь первая попавшаяся ссылка из Вики по-русски о том же авторе и других его открытиях в системах счисления.

[arseniiv]

Andrey A в сообщении #1310874 писал(а):

Надо бы подобные системы выделить в отдельный класс

Cмешанные системы счисления называются (английские термины даже с различиями: mixed radix и более общее mixed base, совпадающее с термином по русскоязычной ссылке); но это слишком общий и большой класс. Туда входит чуть ли не всё подряд.

Andrey A в сообщении #1310874 писал(а):

Однако же в десятичной каждый знак разложения $\sqrt{2}$ не превышает $9$, а в факториальной, логически мысля, может оказаться любым

А она разве применима к нецелым числам?

[Andrey A]

Не знаю. Взять гамма-функцию и смастерить (:

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1310884 писал(а):

А она разве применима к нецелым числам?

Факториальная? Никаких проблем. Каждое рациональное (и только) представляется в виде конечной записи (с обычной проблемой единственности). $10.(1) = e$ и т.п.

[EvgenyNechaev]

arseniiv в сообщении #1310841 писал(а):

унарная система — это не курьёз среди обычных позиционных, а представитель другого класса «биективных»

Не подскажите, где-нибудь можно почитать про эти системы на русском языке?

[Legioner93]

arseniiv в сообщении #1310841 писал(а):

Точно так же как когда-то давно я узнал, что унарная система — это не курьёз среди обычных позиционных, а представитель другого класса «биективных» (я считаю название неудачным, но какое есть, своего варианта получше для популяризации не придумал) систем с цифрами $1..b$ вместо $0..b-1$.

Более того, унарная запись -- это натуральные числа Пеано в чистом виде. Тоже приятный факт.

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1310913 писал(а):

Факториальная? Никаких проблем. Каждое рациональное (и только) представляется в виде конечной записи (с обычной проблемой единственности). $10.(1) = e$ и т.п.

Ну, строго говоря, это не обязательно естественное продолжение целочисленной факториальной. Вот определять факториал отрицательного числа через гамму, как предлагает Andrey A, ещё куда ни шло, но там другая проблема — как раз в нужных нам целых отрицательных числах у него будут дырки. UPD: Да, и в этом свете ваше предложение уже видится намного лучше, чем раньше.

EvgenyNechaev в сообщении #1310935 писал(а):

Не подскажите, где-нибудь можно почитать про эти системы на русском языке?

Не гуглится ничего особо. Вот по-английски, если всё-таки. Определение у них простое — для основания $n$ записями неотрицательных чисел берутся всевозможные конечные последовательности цифр $1..n$, притом записи $a_m\ldots a_0$ соответствует число $\sum_{i=0}^m a_i n^i$, с обычным пониманием пустой суммы как равной нулю (так что ноль обозначается пустой строкой). Популярное применение такой нумерации с основанием 26 и латинскими буквами в качественых цифр — названия столбцов в экселе (хотя они не идут дальше трёхзначного XFD в моей версии).

[Евгений Машеров]

Кое-что есть во втором томе "Искусства программирования" Кнута.

[arseniiv]

Ещё в другой теме его посоветовали:

VAL в сообщении #1311222 писал(а):

Некий исторический обзор есть, ЕМНИП, во втором томе Кнута (начало 4-й главы).

Да уж, характерные многократные исторические переоткрытия. Спасибо, неплохой обзор. В контексте этой темы, а не той, правда, ничего нового не исторического плана там не говорится — разве что я почему-то не подумал, какое интересное правило переноса при сложении чисел в $2i$-чной системе.

[Pavia]

Р Грегори E. Кришнамурти "Безошибочные вычисления Методы и приложения"
Грубо говоря вся книга посещена разным система счисления.

[Евгений Машеров]

Фибоначчиева предлагалась для управления устройствами автоматики, какое-то преимущество было в том, что не было подряд двух единиц.