"Задача, взятая с потолка" (Д/Г, плоские кривые)

[e7e5]

Henrylee писал(а):

Наверное, Вы имели в виду равноускоренно (иначе получается просто окружность большего радиуса).

Моя ошибка, описка - должно быть равноускоренно, подправлю.
Далее, как вы записали и Алексей К.: "Теорема Пифагора" для дифференциала длины кривой, с учетом парметрических уравнения для x и y в полярных координатах, выписали производные и " теорему Пифагора". Затем раскрываем скобки, упрощаем ваше уравнение и получаем постом ниже, что записал Алексей К.

Эрих Камке - это немецкий математик, вроде в книжном на одной полке ( далеко мне до той полки ) видел справочник по дифференциальным уравнениям, это оттуда?
Можно поподробнее расписать

[Алексей К.]

Оттуда. Поподробней пока не могу...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Эрих Камке писал(а):

t;]1.370. $y'^2+y^2=f^2(x)$.
Это уравнение может быть сведено к уравнению Абеля. Полагая $y=f\sin u(x)$, получаем уравнение типа 1.202...

Если $f(x)=Cx+$C_1$$ , $y=f\sin u(x)$, то получается $fu' + f'tg u=\pm f$

Далее, из 1.202 со ссылкой в ней на H. Lemke, Publication math. Belgrade 4 ( 1935), стр 201-212 делаем замену $v(x)=\tg u$ , что приводит к уравнению Абеля.
Нужно только аккуратно выкладки записать, пожалуйста подправьте. Здесь именно второй раз $v(x)$?

[Алексей К.]

Вроде правильно. Знак $\pm f$ пишется командой \pm f.Вторая подстановка даёт $f'v+\frac{fv'}{1+v^2}=\pm f$.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Вроде правильно. Вторая подстановка даёт $f'v+\frac{fv'}{1+v^2}=\pm f$.

Спасибо.
Производная функции $f$ есть константа $C$.
Далее, не очень понятно, приводить это уравнение именно к виду уравнения Абеля первого рода, как у Эрих Камке: Слева производная, а после знака равенства степени $v$?
$v'+\frac{cv}{f}+\frac{cv^3}{f}\mp v^2\mp 1=0$

Или, сразу какая-то хитрая подстановка поможет?

[Алексей К.]

Ужо сколько подстановок подставляли... Хватит, потом ведь по ним взад идти... Далее, наверное, надо ждать, пока заинтересованное или заинтересовавшееся лицо проверит описанные Камке случаи разрешимости Абелева уравнения. Ну, или проковыряет другой известный справочник (авторов не вспомнил пока) на предмет поиска именно этого уравнения с линейной $f(x)$.
Хитрые/гениальные ходы находят обычно, когда известно, что задачка решается (например, она не потолочная, а олимпиадная)...

Кстати, в соседней теме некто Абель про комбинаторику спрашивает; не притянуть ли его за грудки диффур порешать?

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Кстати, в соседней теме некто Абель про комбинаторику спрашивает; не притянуть ли его за грудки диффур порешать?

Не понимаю....

Либо задачка элементарна с точки зрения математики, либо автор соседней темы не признается....

Поискал инет
Нашел статью: "Functions Which Satisfy Abel's Differential Equation", а доступа нет
http://www.jstor.org/pss/2946199

Подумал, если знать примерные функции, то может быть можно было сконструировать искомую функцию, чтобы вид этой кривой понять, "на глазок"...

И еще подстановка с тангенсом не приводит ли к потери решений?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Либо задачка элементарна с точки зрения математики...

Задачка элементарна --- Henrylee не поленился и решил. На его диффур сбежались стервятники (или один сбежался), типа довести до красивой формулки. Пока не вышло. Но задача решена. Имеется уравнение, по нему можно сколь угодно точно сосчитать кривульку.
Нечто подобное, видимо, пережил Френель, исследовавший дифракцию... Такая простая зависимость --- а кривая (спираль Корню) в элементарных функциях не пишется. Ну, назвали эти штуки интегралами Френеля.
Сейчас получить такой орденок всё труднее...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Задачка элементарна --- Henrylee не поленился и решил. Имеется уравнение, по нему можно сколь угодно точно сосчитать кривульку.

Т.е это для всех хорошо, что простая ( элементарная)?
Имеется ввиду по уравнению Henrylee посчитать численно?
Могли бы вы посчитать, картинку сюда поместить по возможности. Спасибо.

К статье Functions Which Satisfy Abel's Differential Equation открывается кстати одна страничка p 618, там упоминаются функции "гиперболические функции третьего порядка", которые могут быть выражены в элементарных - формулы (2), если по ссылке смотреть.

Они могут как-то помочь?
И вообще, в инете очень много статей про уравнения АБеля, они много где применяются?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Могли бы вы посчитать, картинку сюда поместить по возможности.

Через недельку возможность точно будет, может и раньше не поленюсь запостскриптить.

Добавлено спустя 4 минуты 10 секунд:

e7e5 писал(а):

И вообще, в инете очень много статей про уравнения АБеля, они много где применяются?

Не знаю, не сталкивался. Меня преследует призрак Риккати.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

И вообще, в инете очень много статей про уравнения АБеля, они много где применяются?

Не знаю, не сталкивался. Меня преследует призрак Риккати.

Пусть $c/f=0$, т.е точка по искомой кривой движется не равноускоренно, а равномерно.

Тогда переходим к частному случаю специального уравнения Рикатти: v'+av^2=b$. $a=\mp1$, $b=\pm1$ ( см уравнение несколькими постами выше $v'\mp v^2\mp 1=0$
). Разве мы получаем теперь, что искомая кривая будет окружностью большего радиуса?

Эрих Камке в 1.23 дает уравнения интегральных кривых при различных a, b. Их как-то надо использовать, чтобы вернуться с подстановками обратно, и получить окружность? Или в принципе, кроме окружности большего радиуса может быть еще другая кривая. представить не могу

[Henrylee]

Если движение по кривой равномерное, то, отталкиваясь от

$$ \frac{ds}{dt}=v, $$

у меня получается

$$ \rho'^2+\rho^2=v^2 $$

Одно из решений есть $\rho=v$, т.е. окружность (ну, радиус может быть как больше так и меньше, он просто пропорционален скорости)
Вроде как еще решения получается из

$$ \pm\frac{d\rho}{\sqrt{v^2-\rho^2}}=dt $$

Если ничего не путаю (и не ошибся в вычислениях - крошечный листочек бумаги и нехватка времени), то выходит (по крайней мере одно из доп. решений) окружность, лежащая внутри исходной с центром не в нуле, а на оси $oy$, и касающаяся исходной окружности. Впрочем, есть ощущение, что где-то ошибся.

[e7e5]

Henrylee писал(а):

Если движение по кривой равномерное, то, отталкиваясь от

$$ \frac{ds}{dt}=v, $$

Вроде как еще решения получается из

$$ \pm\frac{d\rho}{\sqrt{v^2-\rho^2}}=dt $$

У меня получается, что окружность вырождается в точку - в центре окружности:
$\rho=0$
Ведь слева, если брать интеграл, будет арксинус: $arcsin(\rho/v)$, а справа пределы интегрирования от нуля до $\pi$.

Вообще, без ограничения направления, куда светит этот точечный источник: внутрь круга или наружу, получаются только окружности или точка?
Где же смещенная окружность? пожалуйста проверьте.

[Алексей К.]

Из-за Вашей нетерпёжки посылаю на скорую руку наколоченный код, не проверенный, неоптимизированный (с фиксированным и ничем не обоснованным шагом интергирования).
Прожектор не бегает по кругу, а крутится в фиксированной точке-центре (это, насколько я успел понять, не влияет на вид кривой; а влияет это всего лишь на выбор начального значения $\rho(0)$ и на поворот кривой).
Данный код следут скопировать в файл Seiling.ps и любоваться кривыми (надеюсь, они правильные, но почти не проверял). Надеюсь PostScript Вы viewчить умеете. Там 3 кривульки для разных ускорений

%!
% (dr/dp)^2=(v0+a*p)^2-r^2

/c0 100 def
/r0 0 def

/toXY {% r phi
      57.2957795 mul dup cos 2 index mul 3 1 roll sin mul
} bind def

/drdpsq {% r phi  --> r phi (dr/dp)^2
    dup c1 mul //c0 add 2 index 2 copy add 3 1 roll sub mul
} bind def

/ddp 0.01 def

300 350 translate  

0 setlinewidth -200 0 moveto 400 0 rlineto 0 -200 moveto 0 400 rlineto stroke
1 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
[ 1 4 10] 
{%  
  /c1 exch def
   r0 0 2 copy toXY moveto                       % r phi
   { drdpsq   % r phi (dr/dp)^2
     dup 0 lt {pop pop pop exit} if
     sqrt ddp mul 3 -1 roll add exch ddp add     % rnew pnew
     1 index 300 gt {pop pop exit} if
     2 copy toXY lineto 
   } loop
  stroke
  currentrgbcolor 3 1 roll setrgbcolor
} forall
showpage

Никаких других комментариев (какой диффур, какие константы) пока не даю. Потому что

Я уже писал(а):

Через недельку возможность точно будет, может и раньше не поленюсь запостскриптить.

Имаджь, чтобы люди не возились с PS, постараюсь запендюрить сегодня. Постараюсь также, чтобы мне это не стоило ужина.

ЗЫ: В строке

[ 1 4 10]

перечислены 3 разных ускорения. Заменив её на [1] или [10] (непременно в квадратных скобках!), получите одну кривульку. Заменив на

[ .5  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11]

, получите 12 кривулек. Если программка не сломается. Если шаг интегрирования не подведёт. Если вообще написано правильно. Ибо, как уже объявлено --- всё сговнякано на скорую руку. Посему и код прошу не цитировать.

Добавлено спустя 33 минуты 33 секунды:


В принципе, я и не сильно проголодался...

(добавлено на след. день)
Да, они не раскручиваются до бесконечности потому что шаг интегрирования (ddp=0.01) не адаптируется.

[Henrylee]

e7e5 писал(а):

У меня получается, что окружность вырождается в точку - в центре окружности:
$\rho=0$
Ведь слева, если брать интеграл, будет арксинус: $arcsin(\rho/v)$, а справа пределы интегрирования от нуля до $\pi$.

получаются только окружности или точка?
Где же смещенная окружность? пожалуйста проверьте.

$$ \rho(t)=v\sin t $$

вполне себе частное решение, например (я про равномерное движение с уравнением $\rho'^2+\rho^2=v^2$). Если не ошибаюсь, это и есть смещенная окружность: в декартовых координатах

$$ x^2+(y-v/2)^2=v^2/4 $$

Похоже на то, что любые окружности, лежащие внутри исходной, касающиеся ее и проходящие через ее центр, будут искомыми равномерными кривыми (наряду с концентрическими).