Векторные линии трехмерных векторных полей

[Men007]

Найти векторные линии трехмерного векторного поля $\vec{F}=\vec{r}$

Решение:
Известного, что $\vec{F}=\vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j} + z \vec{k}$

Векторные лини трехмерного векторного поля найдем с помощью системы дифференциальных уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dx}{dt}=F_{x} \\ \frac{dy}{dt} =F_{y} \\ \frac{dz}{dt}=F_{z} \\ \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dx}{dt}=x \\ \frac{dy}{dt} =y \\ \frac{dz}{dt}=z \\ \end{array} \right.$$

Правые части полученной системы уравнений представим в параметрическом виде (при $x_{0}=0$, $y_{0}=0$, $z_{0}=0$):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dx}{dt}=m t \\ \frac{dy}{dt} =n t \\ \frac{dz}{dt}=p t \\ \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} dx=m t dt\\ dy =n t dt\\ dz=p t dt\\ \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x=\frac{m t^{2}}{2} + C\\ y=\frac{n t^{2}}{2} + C \\ z=\frac{p t^{2}}{2} + C \\ \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{m}=\frac{t^{2}}{2} + C\\ \frac{y}{n}=\frac{t^{2}}{2} + C \\ \frac{z}{p}=\frac{t^{2}}{2} + C \\ \end{array} \right.$$

Таким образом, векторные линии трехмерного поля имеют вид:

$\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}$, то есть векторные линии представляют собой различные прямые, проходящие через начало координат.

Ответ я получил такой же как в учебнике, но не совсем уверен в решении.

Особенно вопрос возникает, когда я перехожу от $x,y,z $ к $mt, nt, pt$, то начальные координаты $x_{0},y_{0},z_{0}$ зануляю, но как этот поступок обосновать я не знаю.

[Munin]

А вы не зануляйте. Возьмите какие-то другие $x_0,y_0,z_0.$ И посмотрите, что получится.

[Men007]

Munin

Munin в сообщении #1310488 писал(а):

А вы не зануляйте.

В таком случае я получу:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{m}=\frac{t^2}{2} +\frac{x_{0}}{m} (t+\tilde{C})\\ \frac{y}{n}=\frac{t^2}{2} +\frac{y_{0}}{n} (t+\tilde{C}) \\ \frac{z}{p}=\frac{t^2}{2} +\frac{z_{0}}{p} (t+\tilde{C}) \\ \end{array} \right.$

И тогда уже приравнять левые части уравнений системы мне мешают $\frac{x_{0}}{m}, \frac{y_{0}}{n}, \frac{z_{0}}{p}$.

Или в другом случае я получу:
$\frac{x}{m} - \frac{x_{0} t}{m}= \frac{y}{n} - \frac{y_{0} t}{n}= \frac{z}{p} - \frac{z_{0} t}{p}$.
А это уже не соответствует ответу.

[Munin]

Ну почему не соответствует? Какую линию вы получили?

[DeBill]

Men007
Кто Вас так учил решать дифуры?????
3. При интегрировании разных уравнений - кто позволил произвольные константы обозначит одной буквой (т.е., взять одинаковыми)?
2. Как можно в дифуре - заданном! использовать параметризацию прямой, да взять ее проходящей через начало, да параметр обозначить именно что буквой $t$, которая тоже занята (под "время")
1. А неужели Вы не можете честно решить эти три диф. ур-я? Ну, хотя бы первое из них ? (С начальным условием $x(0) = x_0$)/ Напишите ответ - но проверьте его!

[Munin]

DeBill
Ну может, их на математике учат использовать для параметра букву $t.$ В определённых пределах это безобидно.

[Red_Herring]

DeBill в сообщении #1310503 писал(а):

Кто Вас так учил решать дифуры?????

Я думаю, гений-самоучка...

Munin в сообщении #1310505 писал(а):

Ну может, их на математике учат использовать для параметра букву

Ну допустим. Тогда будет $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z}=dt$, а не то безобразие, которое написано.

[Munin]

Ладно. Я хотел решить локальную задачу: объяснить спрашивающему безобидность сделанного выбора. Вы ставите перед собой глобальную: научить его решать дифуры. Я тогда не нужен.

[Men007]

DeBill

DeBill в сообщении #1310503 писал(а):

3. При интегрировании разных уравнений - кто позволил произвольные константы обозначит одной буквой (т.е., взять одинаковыми)?

Я подразумевал, что они разные.

DeBill в сообщении #1310503 писал(а):

Кто Вас так учил решать дифуры?????

DeBill в сообщении #1310503 писал(а):

2. Как можно в дифуре - заданном! использовать параметризацию прямой, да взять ее проходящей через начало, да параметр обозначить именно что буквой $t$, которая тоже занята (под "время")
1. А неужели Вы не можете честно решить эти три диф. ур-я? Ну, хотя бы первое из них ? (С начальным условием $x(0) = x_0$)/ Напишите ответ - но проверьте его!

К сожалению, меня никто не учил, а сам разбираюсь с трудом (а точнее не разбираюсь).

Если все же от этой системы вообще уйти, то в учебнике написано, что в симметричной форме она имеет вид:
$\frac{dx}{F_{x}}=\frac{dy}{F_{y}}=\frac{dz}{F_{z}}$.

И как из:
$\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z}$,
получить:
$\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}$ я не понимаю.

[Munin]

Men007 в сообщении #1310515 писал(а):

К сожалению, меня никто не учил, а сам разбираюсь с трудом (а точнее не разбираюсь).

Тогда немного раскройте карты:
- слушали ли вы курсы матанализа (сколько курсов), и конкретно ОДУ;
- по какой книге или книгам вы сами разбираетесь.

Вы упоминаете какой-то учебник. Назовите его название (с подзаголовками), авторов, издательство и год издания. Тогда при некоторой удаче мы сможем заглянуть в него же. Или посоветовать другой, может быть даже лучше.

[Men007]

Munin
Матанализ я слушал лекций 5-6 в общем, а ОДУ ровно 1-у лекцию.
Книга у меня одна, написана она двумя преподавателями моего вуза. Названия у нее нет (если не считать: "Организация самостоятельной работы и аудиторных занятий по курсу Математика"). Найти ее в электронной форме вряд ли удастся.

[DeBill]

Men007
Нда, сурово - одна лекция....
Ну да ладно. Скорее всего, на лекции этой все таки было сказано, как решить уравнение $\frac{dx}{dt} = x$: его общее решение имеет вид $x(t) = Ce^t$. константу $C$ найдите из начального условия, что я уже писал. И т.д....

[Munin]

Учебники по ОДУ сейчас посоветуют, а пока: спасибо за честность.

[Men007]

DeBill
Кажется, я понял, что написал изначально бред.

В итоге решение дифференциального уравнения имеет вид:
$x(t)=x_{0} e^{t}$
$y(t)=y_{0} e^{t}$
$z(t)=z_{0} e^{t}$

Тогда:
$\frac{x(t)}{x_{0}}=\frac{y(t)}{y_{0}}=\frac{z(t)}{z_{0}}$
И потом уже можно $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ переобозначить как $m, n, p$.

[DeBill]

Men007
Отлично!
Есть только одна деталь:
все отношения $\frac{x(t)}{x_0} = ...=e^t$ положительны, так что "векторные линии" - это все же не целые прямые, проходящие через начало координат, а только их половинки (лучи). И есть еще одна исключительная "линия" - (это когда все начальные координаты равны нулю) - она состоит только из начала координат.