Задача Нелсона-Хадвигера

[EvgenyNechaev]

Lia в сообщении #1309060 писал(а):

Пока хватит. Определяйте понятия.

Отредактировал доказательство. Как считаете, есть ещё неопределённые понятия?

[Lia]

EvgenyNechaev в сообщении #1309058 писал(а):

1. Определим запрещённое расстояние как расстояние на котором все точки плоскости становятся изолированными в некотором смысле.

И что тут определяет ссылка на дискретное пространство? Если Вы хотите сделать таким образом пространство дискретным, то нужно вводить метрику соответствующим образом, а не изолированность определять, она уже вторична.

[EvgenyNechaev]

Lia в сообщении #1309073 писал(а):

Если Вы хотите сделать таким образом пространство дискретным, то нужно вводить метрику соответствующим образом, а не изолированность определять, она уже вторична.

А почему не достаточно того, что введено запрещённое расстояние?

[Lia]

Потому что для того, чтобы вообще говорить о расстоянии, уже нужна метрика.

[EvgenyNechaev]

Lia в сообщении #1309079 писал(а):

Потому что для того, чтобы вообще говорить о расстоянии, уже нужна метрика.

Понятно.
Метрика такая:
$p (x , y) = 0$, если $x = y$ и $p (x , y) = 1$ во всех остальных случаях.

[Lia]

Ну хорошо. И возьмите 8 различных точек и покрасьте их в 7 различных цветов.

[EvgenyNechaev]

Четвёртый вариант доказательства, со стороны теории графов.

1. Построим граф, вершинами которого будут все без исключения точки плоскости, каждая из которых соединена ребрами со всеми остальными. Этот граф будет полным графом. Сопоставим каждой точке плоскости элемент множества.

2. Примем аксиому выбора.

3. Следовательно, множество вершин полного графа является частично упорядоченным множеством, в котором существуют несравнимые элементы и существует максимальный элемент, равный хроматическому числу плоскости.

4. Следовательно, полный граф является парадоксальным турниром.

5. Следовательно, минимальное хроматическое число плоскости равно $(2 + 2) \cdot 2 - 1 = 7$

[Lia]

EvgenyNechaev в сообщении #1309692 писал(а):

Обозначим каждую его вершину натуральным числом.

Вот я на все остальное даже и не смотрю. Таким образом, число точек плоскости счетно?

[photon]

EvgenyNechaev в сообщении #1309692 писал(а):

1. Построим граф, вершинами которого будут все без исключения точки плоскости, каждая из которых соединена ребрами со всеми остальными. Этот граф будет полным графом. Обозначим каждую его вершину натуральным числом.

Я пока даже не читаю остальные пункты. Давайте с первым разберемся. Вы можете предложить процедуру нумерации?

[EvgenyNechaev]

photon в сообщении #1309698 писал(а):

EvgenyNechaev в сообщении #1309692 писал(а):

1. Построим граф, вершинами которого будут все без исключения точки плоскости, каждая из которых соединена ребрами со всеми остальными. Этот граф будет полным графом. Обозначим каждую его вершину натуральным числом.

Я пока даже не читаю остальные пункты. Давайте с первым разберемся. Вы можете предложить процедуру нумерации?

$1\dots p$, где p - хроматическое число полного графа.

[photon]

EvgenyNechaev в сообщении #1309701 писал(а):

$1\dots p$, где p - хроматическое число полного графа.

Это не процедура нумерации. Вы предложили сопоставить с точками плоскости бесконечный граф и занумеровать все его вершины. Вы можете предложить какую-то процедуру, чтобы, скажем, по паре декартовых координат точки на плоскости однозначно определить ее номер?

-- Thu May 03, 2018 10:49:19 --

Или вы предлагаете нумеровать повторяющимися числами?

[EvgenyNechaev]

photon в сообщении #1309706 писал(а):

EvgenyNechaev в сообщении #1309701 писал(а):

$1\dots p$, где p - хроматическое число полного графа.

Это не процедура нумерации. Вы предложили сопоставить с точками плоскости бесконечный граф и занумеровать все его вершины. Вы можете предложить какую-то процедуру, чтобы, скажем, по паре декартовых координат точки на плоскости однозначно определить ее номер?

-- Thu May 03, 2018 10:49:19 --

Или вы предлагаете нумеровать повторяющимися числами?

Ок, давайте не будем ничего нумеровать. Просто сопоставим каждой точке плоскости элемент множества.

[Lia]

Какого?

[EvgenyNechaev]

Lia в сообщении #1309732 писал(а):

Какого?

Назовём его множество плоскости и определим как множество, между каждым элементом которого и всеми точками плоскости установлено взаимно однозначное соответствие.

[Lia]

Ок. Плоскость, например. Тогда зачем заводить новую, мне старой хватило.