Исследуйте сходимость несобственного интеграла второго рода

[_DEADMAN]

$$\int\limits_{4}^{5}\frac{\sin (x-4)^\frac{1}{5}}{\sqrt{x}-2}dx$$

Трудности возникли уже при взятии неопределенного интеграла. Пробовал разные подстановки: $x-4=t^5$ и $t=tg(x/2)$, но ясности это не прибавило, интеграл только усложнялся. Чего-то, видимо, не вижу или не знаю. Подскажите, пожалуйста, как к такому интегралу подступиться. Спасибо.

Дополнение: $f(x)=\frac{\sin (x-4)^\frac{1}{5}}{\sqrt{x}-2}$; $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$. $f(x)\leqslant g(x)$
Исследуем на сходимость $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$:

$$\int\limits_{4}^{5}\frac{1}{\sqrt{x}-2}dx$$

Подстановка $x=t^2, dx=2tdt, x=5\Rightarrow t=\sqrt{5}, x=4\Rightarrow t=2$

$$\int\limits_{2}^{\sqrt{5}}\frac{2t}{t-2}dt = 2\int\limits_{2}^{\sqrt{5}}dt+4\int\limits_{2}^{\sqrt{5}}\frac{1}{t-2}dt=2(\sqrt{5}-2)+4\lim\limits_{a\to+0}^{}\int\limits_{2+a}^{\sqrt{5}}\frac{2}{t-2}dt=2(\sqrt{5}-2)+4(ln(\sqrt{5}-2)+\infty)=\infty$$

Так g(x) расходится, то и f(x) расходится. Верно?

[Lia]

_DEADMAN
Во-первых, оформляйте все формулы.
Во-вторых, задание какое?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- не сформулирована задача,
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения той задачи, которая не сформулирована.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

_DEADMAN в сообщении #1309219 писал(а):

Так g(x) расходится, то и f(x) расходится. Верно?

Вот у кошки есть хвост, поэтому и у Петьки есть хвост. Верно?
Нет, НЕ верно!

[thething]

_DEADMAN
Попробуйте предельный признак сравнения, т.к. у синуса есть эквивалентность, а данный признак работает в обе стороны.

Оценка же сверху расходящимся рядом ничего не говорит об оцениваемом ряде.. тьфу ты, т.е. интеграле)

[_DEADMAN]

Brukvalub в сообщении #1309393 писал(а):

_DEADMAN в сообщении #1309219 писал(а):

Так g(x) расходится, то и f(x) расходится. Верно?

Вот у кошки есть хвост, поэтому и у Петьки есть хвост. Верно?
Нет, НЕ верно!

Если по существу сказать нечего, то лучше промолчать.

[Pphantom]

_DEADMAN в сообщении #1309396 писал(а):

Если по существу сказать нечего, то лучше промолчать.

Вам вообще-то указали на то, что сделанный вывод неправилен (и совершенно правильно указали).

[_DEADMAN]

Pphantom в сообщении #1309397 писал(а):

_DEADMAN в сообщении #1309396 писал(а):

Если по существу сказать нечего, то лучше промолчать.

Вам вообще-то указали на то, что сделанный вывод неправилен (и совершенно правильно указали).

Обратите, пожалуйста, внимание, что ни про кошкин хвост, ни про Петьку я не спрашивал. Хамство на форуме в порядке вещей, как я понимаю?

[ewert]

_DEADMAN в сообщении #1309219 писал(а):

Так g(x) расходится, то и f(x) расходится. Верно?

А это смотря на что Вы пытаетесь сослаться. Вы же формулировку не привели.

И ещё. Замена -- это хорошо, но отнюдь не для явного счёта интегралов, который попросту вреден. А для сравнения с эталонами. Для которых, естественно, нужна не $t=\sqrt{x}$, а $t=\sqrt{x}-2$.

[Pphantom]

_DEADMAN в сообщении #1309396 писал(а):

Если по существу сказать нечего, то лучше промолчать.

_DEADMAN в сообщении #1309402 писал(а):

Хамство на форуме в порядке вещей, как я понимаю?

Ну что ж, будем бороться с хамством. _DEADMAN, замечание за хамство и агрессивное невежество.

[thething]

ewert в сообщении #1309404 писал(а):

Для которых, естественно, нужна не $t=\sqrt{x}$, а $t=\sqrt{x}-2$.

Да ну, необязательно же.. Главное, что особенность -- в конечной точке, вот и пусть на степени только смотрит)

[ewert]

_DEADMAN в сообщении #1309402 писал(а):

Обратите, пожалуйста, внимание, что ни про кошкин хвост, ни про Петьку я не спрашивал.

Нет, не спрашивали. Но ровно про них и говорили. Ваши $f$ и $g$ ничем не связывались. Так же, как и Петька с кошкой. Так что то "хамство" и Ваше исходное сообщение совпадают с точностью до выбора обозначений.

[_DEADMAN]

ewert в сообщении #1309404 писал(а):

_DEADMAN в сообщении #1309219 писал(а):

Так g(x) расходится, то и f(x) расходится. Верно?

А это смотря на что Вы пытаетесь сослаться. Вы же формулировку не привели.

Если я не ошибаюсь, то это признак сравнения. Если $f(x)\leqslant g(x)$, то из сходимости $g(x)$ следует сходимость $f(x)$.

[Lia]

_DEADMAN в сообщении #1309412 писал(а):

Если $f(x)\leqslant g(x)$, то из сходимости g(x) следует сходимость f(x).

А Вы что утверждаете?

---

Формулы все оформляйте (баксики, баксики) и избыточного цитирования не надо.