Понимание распределения Максвелла

[fenbcn]

realeugene в сообщении #1309362 писал(а):

fenbcn в сообщении #1309361 писал(а):

Вы хотите увидеть, как у массы написаны килограммы, у температуры - кельвины и т.д.? Почему мне приходится гадать?

Я хочу, чтобы вы сами разобрались с необходимыми основами из школьной физики. И сами написали правильно.

Возможно, и правда, здесь глупая ошибка, но я не увижу ее, раз она глупая.
Меня задевают Ваши необоснованные замечания, пожалуйста, давайте без этого. "Основы школьной физики" мне говорят:
Размерность $dv_x, dv_y, dv_z$ это $\frac{m}{s}$
Размерность $f(v_x,v_y,v_z)$ это $(\frac{m}{s})^{-3}$
Размерность $F(v)=4\pi v^2 f(v_x,v_y,v_z)$ это $\frac{s}{m}$

[Pphantom]

fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):

Размерность $f(v_x,v_y,v_z)$ это $(\frac{m}{s})^{-3}$
Размерность $F(v)=4\pi v^2 f(v_x,v_y,v_z)$ это $\frac{s}{m}$

Ну вот, как видите, размерности $f$ и $F$ отличаются. Тогда каков физический смысл утверждения, что одна из этих функций при каком-либо значении параметров больше или меньше другой?

P.S. И не кипятитесь, объяснять очевидные вещи обычно сложнее, чем более-менее содержательные - именно потому, что объясняющему очень трудно понять, что тут непонятного.

[Munin]

fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):

Хочу посчитать число точек в кубике $Q$. Для этого нужно взять распределение по направлениям скоростей и проинтегрировать трижды от $-a/2$ до $a/2$.

Вы почему-то ошибочно называете распределение по трёхмерному пространству скоростей "распределением по направлениям скоростей".

Нет, направление - это тоже отдельная математическая величина. Все параллельные сонаправленные оси имеют одно направление, а если они не параллельны - разные. Направление можно взаимно-однозначно связать с точкой на сфере (например, на единичной сфере). (Я здесь не говорю о направлениях в случае ненаправленных прямых.) Получается "пространство направлений", и можно ввести соответствующее "распределение по направлениям". Однако для распределения Максвелла, это будет однородное распределение.

fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):

Теперь хочу посчитать число точек в шаре $S$ с диаметром, равным диагонали $Q$. Для этого нужно взять распределение Максвелла по модулям скоростей

Нет, не обязательно. Можно взять то же самое распределение по трёхмерному пространству скоростей, и проинтегрировать по шару. Ответ получится тот же самый.

По сути, распределение по модулям скоростей - это заранее вычисленный промежуточный шаг в таком интегрировании. Ничего больше.

fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):

Вероятность быть около нуля хотя и максимальна, но очень мала.

Именно так. А когда рисуют графики, то их нормируют, чтобы сам график оказался достаточно заметным на рисунке, а не сливался, например, с осью абсцисс.

[realeugene]

fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):

"Основы школьной физики" мне говорят:

Уже прогресс.
А теперь посчитайте те же "вероятности", которые вы посчитали численно и выписали выше, только, перейдя от секунд к микросекундам.

[fenbcn]

Pphantom в сообщении #1309366 писал(а):

fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):

Размерность $f(v_x,v_y,v_z)$ это $(\frac{m}{s})^{-3}$
Размерность $F(v)=4\pi v^2 f(v_x,v_y,v_z)$ это $\frac{s}{m}$

Ну вот, как видите, размерности $f$ и $F$ отличаются. Тогда каков физический смысл утверждения, что одна из этих функций при каком-либо значении параметров больше или меньше другой?

Сравниваются не плотности вероятности. Сравниваются вероятности, которые безразмерные, о чем я уже писал

-- 02.05.2018, 16:25 --

realeugene в сообщении #1309420 писал(а):

fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):

"Основы школьной физики" мне говорят:

Уже прогресс.
А теперь посчитайте те же "вероятности", которые вы посчитали численно и выписали выше, только, перейдя от секунд к микросекундам.

$$dP(v=0)=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2} (\frac{m}{s})^{-3}\cdot 1 \frac{m}{s}\cdot 1 \frac{m}{s}\cdot 1 \frac{m}{s}=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2} 10^{18}(\frac{m}{\mu s})^{-3}\cdot 10^{-6} \frac{m}{\mu s}\cdot 10^{-6} \frac{m}{\mu s}\cdot 10^{-6} \frac{m}{\mu s}$$

$$dP(v=\sqrt{\frac{2RT}{m}})=\frac{4}{e}(\frac{\mu}{2\pi RT})^{1/2}10^{6}\frac{\mu s}{m}\cdot 10^{-6}\frac{m}{\mu s}$$

[realeugene]

Вы же раньше числа записывали. Что вас сейчас останавливает от этого шага?

[Munin]

fenbcn в сообщении #1309421 писал(а):

Сравниваются не плотности вероятности. Сравниваются вероятности, которые безразмерные, о чем я уже писал

Вот чтобы их сравнить, их надо как-то проинтегрировать. Проинтегрировать по разным вещам. Вот тут у вас и будет заложен параметр масштаба, который вы пытались замести под ковёр.

[Pphantom]

fenbcn в сообщении #1309421 писал(а):

Сравниваются не плотности вероятности. Сравниваются вероятности, которые безразмерные, о чем я уже писал

Писать-то писали, но в действительности делали нечто другое. Фактически Вы, "сравнивая вероятности", приписывали $dv_x$, $dv_y$, $dv_z$ и $dv$ произвольные (единичные) значения, что, с одной стороны, делает сравнение бессмысленным (объемы в пространстве скоростей, вероятности попадания в которые Вы пытаетесь сравнивать, получаются разными), с другой - de facto просто выкидывает эти множители из рассмотрения, после чего Вы таки сравниваете именно плотности вероятностей.

[Goroshek]

Предлагаю топикстартеру такой подход к осмыслению вопроса:
1. Функцию распределения можно понимать не единственным способом.
Первый способ - $\omega(E) d\Gamma$. $\omega$ - наша первая функция распределения, $d\Gamma$ - дифференциал стат.веса, то есть часть количества микросостояний, которые могут реализовать данное макросостояние. Вот это произведение - малая вероятность системе находиться в заданном малом количестве микросостояний.
Здесь неявно упомянуто, что $\omega$ - функция от энергии системы, это утверждение содержательно и обосновывается в курсе статфизики. Для затронутого в топике распределения Максвелла
$\omega(E) = e^{-\dfrac{E}{kT}} = e^{-\dfrac{p^2}{2mkT}}$.
Теперь попробуем применить это рассуждение к разным системам:
1) Одна частица с заданной энергией.
Понятно, что такое распределение не может быть верно для частицы с заранее заданной энергией! Для нее распределение будет дельта функцией от энергии системы, чтобы будучи проинтегрированным по всем состояниям, в накапливаемую вероятность в системе добавлялись только состояния, реализующие именно эту энергию.
2) Несколько частиц с заданной энергией системы.
Ящик(комната) с извне заданной суммарной энергией частиц.
Рассуждаем, подобно положению в начале топика: "применяем" нашу первую функцию распределения
$\omega(E) = e^{-\dfrac{E}{kT}} = e^{-\dfrac{p^2}{2mkT}}$
к частице из ящика и получаем, что "самые вероятные" микросостояния - соответствующие энергии 0. И так для каждой частицы. Но тогда "самое вероятное" значение для энергии всей системы будет тоже 0, что противоречит самой постановке задачи.
Теперь необходимо раскрыть второй способ рассуждения о функции распределения, который даст логичный ответ на поставленный вопросы.
2
Второй способ - $W(E) dE$. Здесь $dE$ - интервал энергий, $W(E)$ - вторая функция распределения, и произведение дает малую вероятность системе пребывать в состоянии с энергией из интервала $dE$.
Связь между функциями $\omega$ и $W$ такая: $\omega d\Gamma = W dE$ (по смыслу: вероятность находиться в микросостоянии, реализующем данную энергию, равна ей же в правой части).
Теперь представим себе фазовое пространство одной частицы. Чтобы найти наиболее вероятное микросостояние, реализующее ее макросостояние, необходимо пользоваться функцией $\omega$; это будет убывающая экспонента от энергии.
Но чтобы найти наиболее вероятную энергию частицы, необходимо пользоваться функцией $W$.
Подсчитаем ее: $W = \omega \dfrac{d\Gamma}{dE}$. $d\Gamma = \dfrac{dp dq}{(2\pi \hbar)^3}$ (одно состояние системы соответствует одной клетке фазового объема, равной $(2\pi \hbar)^3$). Опустим $dq$ для однородного ящика распределение будет равномерным ко координате и при интегрировании даст просто объем ящика и опустим константу $(2\pi \hbar)^3$, записав всю эту информацию в символ $A$. Тогда $W= A \omega \dfrac{dp}{dE}$. Вспоминаем зависимость импульса от энергии для нерелятивистской частицы $p = \sqrt{2mE}$, берем производную, подставляем $\omega$ и получаем:
$W = A|p|e^{-\dfrac{p^2}{2mkT}}$. Вот у этой функции от энергии (или модуля импульса) уже есть определенный максимум - наиболее вероятную энергию частицы.
Резюмируем:
1) Функция распределения по количеству состояний в зависимости от энергии имеет максимум в 0.
2) Функция распределения по энергии в зависимости от энергии имеет максимум в средней энергии частицы.
3) Переход от одной к другой выполняется с помощью домножения на $\dfrac{d\Gamma}{dE}$.
Можно увидеть из этого, что различные энергии реализуются различным числом состояний (зависимость $\dfrac{d\Gamma}{dE}$). Выходит, несмотря на то, что по первой функции распределения частица пребывает большую часть времени в состояниях близких к энергии 0, то по второй функции распределения оказывается, что таких состояний, возможных для реализации, для данной системы просто мало. Вероятность находиться в этих состояниях высока, а состояний мало. Функция $W$ учитывает оба этих фактора, и вероятность находиться в состояниях, и число состояний и дает правильный логически ответ.
Физическая сторона вопроса: почему мало состояний с энергиями, близкими к 0? Именно из-за того, что у "ящика" заданная энергия; это макросостояние реализуется большим количеством определенных ненулевых средних энергий частиц.
Буду рад коррективам, фактически все содержание поста - выдержка из главы 1 ЛЛ-5.

[fenbcn]

realeugene в сообщении #1309426 писал(а):

Вы же раньше числа записывали. Что вас сейчас останавливает от этого шага?

Потому что я получаю то же самое.

Pphantom в сообщении #1309434 писал(а):

fenbcn в сообщении #1309421 писал(а):

Сравниваются не плотности вероятности. Сравниваются вероятности, которые безразмерные, о чем я уже писал

Писать-то писали, но в действительности делали нечто другое. Фактически Вы, "сравнивая вероятности", приписывали $dv_x$, $dv_y$, $dv_z$ и $dv$ произвольные (единичные) значения, что, с одной стороны, делает сравнение бессмысленным (объемы в пространстве скоростей, вероятности попадания в которые Вы пытаетесь сравнивать, получаются разными), с другой - de facto просто выкидывает эти множители из рассмотрения, после чего Вы таки сравниваете именно плотности вероятностей.

Для воздуха при комнатной температуре шаг в пространстве скоростей около нуля на расстояние $1\frac{m}{s}$ меняет распределение на $10^{-4}\%$, поэтому я оцениваю интеграл

$$\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}f(v_x,v_y,v_z)dv_xdv_ydv_z$$

как

$$f(0,0,0)\cdot \Delta v_x \Delta v_y \Delta v_z=f(0,0,0)\cdot 1^3$$

Я понимаю, что есть такая область температур и масс, где шаг $1\frac{m}{s}$ не будет считаться малым.
Для оценки неважно, будет ли шар вписан в кубик, или кубик в шар, поэтому и $\Delta v$ я брал равным $1\frac{m}{s}$

[realeugene]

fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):

Возможно, и правда, здесь глупая ошибка, но я не увижу ее, раз она глупая.

У вас, на самом деле, ошибка одна, но очень серьёзная. Вы, действительно, не понимаете физический смысл формул, которые вы записываете. Хорошо, что вы начали это осознавать и начали задавать тут вопросы. Плохо то, что ваша гордыня вам мешает осознать, в насколько базовых понятиях в физике вы сейчас плаваете.

-- 02.05.2018, 16:59 --

fenbcn в сообщении #1309442 писал(а):

Потому что я получаю то же самое.

Тогда вы считаете неверно.
Вы не забыли, что в $R$ и $T$ тоже входит время? Впрочем, если T в Кельвинах, то время входит только в $R$.

-- 02.05.2018, 17:03 --

fenbcn в сообщении #1309442 писал(а):

Для оценки неважно, будет ли шар вписан в кубик, или кубик в шар, поэтому и $\Delta v$ я брал равным $1\frac{m}{s}$

Если "для оценки не важно", тогда вы неправильно посчитали, так как у вас числа отличаются на три порядка.

[Munin]

fenbcn
Увы, у вас действительно проблемы. Вы не понимаете, что $(1\tfrac{\text{м}}{\text{с}})^3$ - никак не единичный объём.

Величины размерные в физике просто никак не сопоставимы с математическими безразмерными. Надо к этому привыкнуть (а в школе этого навыка сейчас не дают).

Чтобы немного продвинуться в этом направлении, возьмите другие единицы измерения. Не $\tfrac{\text{м}}{\text{с}},$ а $\tfrac{\text{км}}{\text{с}},$ $\tfrac{\text{см}}{\text{с}},$ $\tfrac{\text{км}}{\text{час}},$ $\tfrac{\text{мм}}{\text{год}}$ и т. п.

У вас распределения будут меняться (довольно очевидным образом, но меняться). Так вот, важно то, что они будут меняться по-разному.

[realeugene]

fenbcn в сообщении #1309442 писал(а):

поэтому я оцениваю интеграл

$$\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}f(v_x,v_y,v_z)dv_xdv_ydv_z$$

А, понятно, вы вместо объёма шара берёте объем кубика. А зачем? Формулу объёма шара, думаю, вы знаете.

fenbcn в сообщении #1309442 писал(а):

$$f(0,0,0)\cdot \Delta v_x \Delta v_y \Delta v_z=f(0,0,0)\cdot 1^3$$

Никогда так не пишите. Вы опять в равенстве теряете размерности.

[fenbcn]

realeugene в сообщении #1309444 писал(а):

Тогда вы считаете неверно.
Вы не забыли, что в $R$ и $T$ тоже входит время? Впрочем, если T в Кельвинах, то время входит только в $R$.

Не забыл, так как я сразу написал размерность плотности вероятности, которая получится, если подставить все $R, T, m$, рядом с ней

se-sss и Goroshek уже ответили на вопрос. Спасибо!

[realeugene]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1309457 писал(а):

(а в школе этого навыка сейчас не дают).

Что, на самом деле сейчас детей в школе не учат считать единицы измерения физвеличин?

-- 02.05.2018, 17:38 --

fenbcn в сообщении #1309421 писал(а):

$$dP(v=\sqrt{\frac{2RT}{m}})=\frac{4}{e}(\frac{\mu}{2\pi RT})^{1/2}10^{6}\frac{\mu s}{m}\cdot 10^{-6}\frac{m}{\mu s}$$

Вы осознаёте, что это ваше выражение записано некорректно? Слева в вашем равенстве написан дифференциал вероятности с непрерывным распределением, т. е. бесконечно малая, а справа - конечная величина. Слева написана величина безразмерная, справа - размерная.