Занимательная огородная задачка

[Alex_J]

Я посадил рассаду. Немного, на 2 небольших грядках. В каждую лунку я посадил по 1 растению.
Общее количество рассады по удивительному совпадению оказалось суммой квадратов двух соседних чисел.
Одна грядка действительно квадратная, число рядов равно числу растений в ряде.
Вторая же могла бы тоже быть квадратной, но имеет число рядов меньшее, чем число растений в своём ряду, на число рядов в первой грядке.
Сколько всего растений я посадил?

[waxtep]

Например, чертову дюжину: $2^2+3^2=3^2+4\cdot(4-3)$

[Alex_J]

waxtep

Формально ответ подходит, но - нет
Следует наверное добавить, что рядов в каждой грядке больше одного, как и растений в рядах.

[waxtep]

Тогда $24^2+25^2=21^2+40\cdot(40-21)$
Это уже довольно большие грядки

[Shadow]

Alex_J в сообщении #1308647 писал(а):

Вторая же могла бы тоже быть квадратной,

Тоесть,

waxtep в сообщении #1308686 писал(а):

$\cdots 40\cdot(40-21)$

не подходит.

Но подходит квадрат со стороной $F_n\cdot F_{n+3}$ и прямоугольник с размерами $F_{n+1}^2\times F_{n+2}^2$

$F_n$ - числа Фибоначчи.

[waxtep]

Shadow в сообщении #1308734 писал(а):

Alex_J в сообщении #1308647

писал(а):
Вторая же могла бы тоже быть квадратной,

а, это условие я неправильно понял

[Alex_J]

Пока правильного ответа нет. )

-- 01.05.2018, 10:53 --

Shadow в сообщении #1308734 писал(а):

Но подходит квадрат со стороной $F_n\cdot F_{n+3}$ и прямоугольник с размерами $F_{n+1}^2\times F_{n+2}^2$

Для некоторого $n$ - Ответ верный. )

[Shadow]

Хорошо, чем вам не устраивает (какое условие не удовлетворяет) квадрат со стороной $a$, и прямоугольник со сторонами $b,c$ и решения для $(a,b,c)$

$(5,4,9);(16,9,25);(39,25,64);(105,64,169)\cdots$

Какое из этих решений не верно и почему?

[Alex_J]

Во-первых, вопрос был про число растений, а не про размеры грядок.

Грядки реальные, не выдуманные, ответ 5, 4, 9 подходит, если не учитывать опять же сам вопрос в задаче.

Остальные сочетания подходят чисто математически, и подошли бы, если бы вопрос был "все возможные варианты".

[Shadow]

Alex_J в сообщении #1309122 писал(а):

Во-первых, вопрос был про число растений, а не про размеры грядок.

Лень было искать в интернете формул для площади квадрата и прямоугольника.

Alex_J в сообщении #1309122 писал(а):

Грядки реальные, не выдуманные

Alex_J в сообщении #1309122 писал(а):

Остальные сочетания подходят чисто математически

К "сочетаниям" придираться не буду, значит, я не угадал задуманное число? Точнее угадал, но выписывая все подряд, а так нечестно?

Alex_J в сообщении #1309122 писал(а):

и подошли бы, если бы вопрос был "все возможные варианты".

Вы уверены?

[Alex_J]

Shadow в сообщении #1309173 писал(а):

К "сочетаниям" придираться не буду, значит, я не угадал задуманное число? Точнее угадал, но выписывая все подряд, а так нечестно?

Типа

Shadow в сообщении #1309173 писал(а):

Лень было искать в интернете формул для площади квадрата и прямоугольника.

Они очень сложные...

[Shadow]

Alex_J в сообщении #1309122 писал(а):

и подошли бы, если бы вопрос был "все возможные варианты"

Стороны прямоугольника $(yu^2,yv^2)$, сторона квадрата $y(u^2-v^2)$.

Уравнение $y^2(u^2-v^2)^2+y^2u^2v^2=x^2+(x+1)^2\quad\eqno{(1)}$

Решения $y=1,\;u^2-v^2-uv=\pm 1$ будем называть тривиальными. Тривиальные решения: $y=1,u=F_{n+1},v=F_n$ (числа Фибоначчи).

Уравнение $\eqno{(1)}$ сводится к уравнению Пелля

$(2x+1)^2-2(u^4-u^2v^2+v^4)y^2=-1$

которое при для некоторых $u,v$ либо не имеет решений, либо решений бесконечно много. Но мы уж точно знаем, что при $u=F_{n+1},v=F_n$ есть тривиальное решение $y=1$, которое порождает бесконечную серию. Так что там далеко не все решения.

(Оффтоп)

Такое "палиндромное" решение $303^2+404\cdot 101=257^2+258^2$