Шар на седле

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1308849 писал(а):

А откуда рецензия на Гриффитса?

http://mash-xxl.info/info/720543/

[Munin]

А, источник был указан рядом:

pogulyat_vyshel в сообщении #1308821 писал(а):

В. Козлов Симметрии топология и резонансы в гамильтоновой механике

Я сразу не понял.

[pogulyat_vyshel]

Несколько наблюдений относительно системы (*)-(**).

1) Поскольку в уравнении (*) члены, содержащие $\dot x,\dot y$ входят только в вектор $\boldsymbol v_S$, в координатах мы получаем из (*)

$$\dot x=u(x,y,\omega_x,\omega_y,\omega_z),\quad \dot y=v(x,y,\omega_x,\omega_y,\omega_z).\qquad (***)$$

2) Из (**) следует, что

$$(\boldsymbol {\dot\omega},\boldsymbol{SP})=0\qquad (****).$$

Продифференцируем векторное уравнение (*) по времени, получим

$$\boldsymbol a_S=-[\boldsymbol{\dot\omega},\boldsymbol{SP}]+\ldots$$

Подставляя это в уравнение (**) и используя формулу ''бац-цаб'' и формулу (****), а также формулу (***) , мы получим уравнение вида

$$(J+mr^2)\dot\omega_x=f_x(x,y,\omega_x,\omega_y,\omega_z),\quad (J+mr^2)\dot\omega_y=f_y(x,y,\omega_x,\omega_y,\omega_z),\quad (J+mr^2)\dot\omega_z=f_z(x,y,\omega_x,\omega_y,\omega_z)$$

И так надо решать автономную систему 5 порядка

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1308821 писал(а):

Экстремаль функционала $\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot x)dt$ в классе кривых с закрепленными концами удовлетворяющих неголономным связям $a_i^j(x)\dot x^i=0$ не является, вообще говоря, решением уравнений движения механической системы с лагранжианом $L$ и идеальными связями $a_i^j(x)\dot x^i=0$. Т е уравнения неголономной механики и уравнения экстремалей указханной вариационной задачи это разные уравнения

1. Имеется ли простой пример?
2. В русском переводе Гриффитса имеется добавление: А. М. Вершик, В. Я. Гершкович. Неголономные задачи и
геометрия распределений. Относится ли это замечание и к нему?
3. Можно ли сформулировать "правильную" вариационную задачу, т.е. такую, уравнения неголономной механики и уравнения экстремалей этой вариационной задачи совпадают?

Книга В.В.Козлова, кстати, переведена на английский. И на страницах 17--19 обсуждается разница между уравнениями экстремалей и уравнениями неголономной механики

-- 01.05.2018, 04:44 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1309044 писал(а):

Итак надо решать автономную систему 5 порядка

То, что система 5го порядка, а у физиков переменных сильно не хватало, было ясно с самого начала.

И IMHO, хотя я подозреваю, что Вы считаете, что это задача "детская", неплохо бы чтобы хотя бы ее правильная формулировка была опубликована. А то некоторые физики уж больно расшалились ...

Не могли бы Вы выписать линеаризованную задачу?

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1309052 писал(а):

Имеется ли простой пример?

в книжке Блоха (я привел ссылку выше) много таких примеров

Red_Herring в сообщении #1309052 писал(а):

Гриффитса имеется добавление: А. М. Вершик, В. Я. Гершкович. Неголономные задачи и
геометрия распределений. Относится ли это замечание и к нему?

нет, эти люди все понимают правильно

Red_Herring в сообщении #1309052 писал(а):

Можно ли сформулировать "правильную" вариационную задачу, т.е. такую, уравнения неголономной механики и уравнения экстремалей этой вариационной задачи совпадают?

в отдельных случаях можно, сколько-нибудь общих теорем не видел

Red_Herring в сообщении #1309052 писал(а):

Книга В.В.Козлова, кстати, переведена на английский. И на страницах 17--19 обсуждается разница между уравнениями экстремалей и уравнениями неголономной механики

я ее наизусть знаю эту книгу :)

Red_Herring в сообщении #1309052 писал(а):

неплохо бы чтобы хотя бы ее правильная формулировка была опубликована

что-то я сомневаюсь, что это публикабельно

Red_Herring в сообщении #1309052 писал(а):

Не могли бы Вы выписать линеаризованную задачу?

Хлопотно. Если кого из моложежи заинтересует -- помогу советом

-- 01.05.2018, 21:56 --

Red_Herring в сообщении #1309052 писал(а):

То, что система 5го порядка, а у физиков переменных сильно не хватало, было ясно с самого начала.

То что мы в системе с 3 степенями свободы получили дифуры 5 порядка это только благодаря большой симметрии шара.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1309212 писал(а):

что-то я сомневаюсь, что это публикабельно

Да, этой статье в CJP 16 лет. Письмо в редакцию писать поздно.

[Red_Herring]

Лагранжев/Гамильтонов формализм применим не только к (многим) системам, описываемым ОДУ, но и (многим) системам, описываемым УЧП, например ДСС. А имеются ли аналогичные "неголономные" задачи?

[Munin]

Калибровочная теория поля (например, уравнение Янга-Миллса, сигма-модель и нелинейная сигма-модель) - вроде бы, как я понял, неголономные ДУЧП-подобные системы физики (являются усложнением голономных систем типа уравнения Д'Аламбера).

Однако я слышал высказывание, что неголономность там - другая, чем в задачах движения твёрдых тел.

[pogulyat_vyshel]

Кое-что еще о геометрии задачи. Когда шар катится по седлу ,его центр $S$ движется по другой поверхности. Как-то она там называется в дифференциальной геометрии, теорию особенностей таких поверхностей очень любил В. Арнольд. Назовем эту другую поверхность $M$.

Координаты $x,y$ являются локальными координатами на седле. Отметим, что в силу равенства $(\boldsymbol n, \boldsymbol n)=1$
имеем

$$\Big(\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial x},\boldsymbol n\Big)=\Big(\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial y},\boldsymbol n\Big)=0$$

и поэтому векторы

$$\boldsymbol E_x=\frac{\partial \boldsymbol{OS}}{\partial x},\quad \boldsymbol E_y=\frac{\partial \boldsymbol{OS}}{\partial y}$$

являются касательными к седлу.

Если окажется, что эти векторы всюду линейно независимы , то поверхность $M$ не имеет особенностей, а координаты $x,y$ будут локальными координатами и на поверхности $M$ при этом векторы $\boldsymbol E_x,\boldsymbol E_y$ будут базисными в каждом касательном пространстве к $M$ . Но именно это условие независимости векторов $\boldsymbol E_x,\boldsymbol E_y$ и является условием корректности уравнений связи (*)
(Отсутствие особенностей у поверхности $M$ очевидно соответствует тому, что кривизны седла должны быть согласованы с радиусом шара Так что бы шар не застревал, грубо говоря)

Действительно,

$$\boldsymbol v_S=\dot x\boldsymbol E_x+\dot y\boldsymbol E_y+[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol{OS}].$$

Подставляя это равенство в уравнение (*) находим

$$\dot x\boldsymbol E_x+\dot y\boldsymbol E_y=-[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol{PS}]-[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{SP}].$$

Слева и справа стоят векторы касательные к седлу. Если $\boldsymbol E_x,\boldsymbol E_y$ это базис в касательной плоскости, то мы можем разложить по нему вектор $-[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol{PS}]-[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{SP}]=\lambda_x\boldsymbol E_x+\lambda_y\boldsymbol E_y$ и однозначно выразить $\dot x,\dot y:\quad \dot x=\lambda_x,\quad \dot y=\lambda_y$.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1309530 писал(а):

Кое-что еще о геометрии задачи. Когда шар катится по седлу ,его центр $S$ движется по другой поверхности. Как-то она там называется в дифференциальной геометрии, теорию особенностей таких поверхностей очень любил В. Арнольд.

В "китайской" статье она называется центроидом (канадская статья до таких "тонкостей" не доходит). Но это явно "нестандартное" название. В геометрической оптике эта поверхность--фронт волны в момент $r$, если седло--фронт в момент $0$. Это причина, что Арнольд интересовался особенностями таких поверхностей (каустиками)

[Munin]

А почему бы не назвать её эквидистантой? (Эквидистантной поверхностью.)

pogulyat_vyshel в сообщении #1309530 писал(а):

Отсутствие особенностей у поверхности $M$ очевидно соответствует тому, что кривизны седла должны быть согласованы с радиусом шара Так что бы шар не застревал, грубо говоря

Минимальный радиус кривизны поверхности $\geqslant$ радиуса шара. Кстати, удачно, что у параболоида такое простое условие.

[pogulyat_vyshel]

Можно еще отметить, что в системе связанной с седлом сохраняется энергия шара:

$$\frac{m}{2}|\boldsymbol v_{\mbox{отн}}|^2+\frac{J}{2}|\boldsymbol\omega_{\mbox{отн}}|^2-m(\boldsymbol g,\boldsymbol{OS})-\frac{m}{2}|[\boldsymbol\Omega,\boldsymbol{OS}]|^2=h,$$

где

$$\boldsymbol v_{\mbox{отн}}=\boldsymbol v_S-[\boldsymbol\Omega,\boldsymbol{OS}],\quad \boldsymbol\omega_{\mbox{отн}}=\boldsymbol\omega -\boldsymbol\Omega$$

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1309530 писал(а):

(Отсутствие особенностей у поверхности $M$ очевидно соответствует тому, что кривизны седла должны быть согласованы с радиусом шара Так что бы шар не застревал, грубо говоря)

Вообще говоря, у поверхностей два радиуса кривизны, у седлообразных они разных знаков, и это условие накладывается лишь на радиус определенного знака.

Но что будет, если это условие нарушено? Рассмотрим упрощенный случай: седло $z=(x^2-y^2)/2$ не вращается, и шар радиуса $r>1$ катится вверх по линии $z=-y^2/2$. В этом случае $\omega_y=0$, $\omega_z=\operatorname{const}$.

До какого-то момента $t_0$ радиус кривизны больше радиуса шара, но что происходит в момент $t_0$? Если $\omega_z=0$, то довольно ясно: шар продолжает катиться, касаясь седла в двух точках одновременно, по двум симметричным линиям $x^2+y^2=r^2-1$ (т.е. возникает "мертвая зона" под шаром). А вот если $\omega_z\ne 0$, то что?

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1310127 писал(а):

случае $\omega_y=0$, $\omega_z=\operatorname{const}$.

$\omega_x=const$

Red_Herring в сообщении #1310127 писал(а):

До какого-то момента $t_0$ радиус кривизны больше радиуса шара, но что происходит в момент $t_0$? Если $\omega_z=0$, то довольно ясно:

На самом деле уже тут ничего не ясно. А если мы немного пошевелим направление движения центра шара? Ведь должна быть непрерывная зависимость решений от начальных данных Поскольку движений типа тех , что вы описали множество меры нуль (в данной задаче по крайней мере) то это можно просто игнорировать

-- 05.05.2018, 10:26 --

Red_Herring в сообщении #1310127 писал(а):

Вообще говоря, у поверхностей два радиуса кривизны, у седлообразных они разных знаков,

я в курсе, спасибо

-- 05.05.2018, 10:56 --

Более того, вот если в какой-то точке седла на пути движения шара векторы $\boldsymbol E_x,\boldsymbol E_y$ оказались линейно зависимыми то моя модель перестает быть корректной, система уравнений (*)-(**) в этой точке непредставима в нормальной форме Коши. И что тогда? Математического ответа нет. Нужны физические предположения дополнительные. Т е не глобальный эффект, когда шар вдруг стал касаться седла в двух точках, а локальный, даже в одной точке могут возникать проблемы

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1310178 писал(а):

я в курсе, спасибо

Я в курсе, что Вы в курсе, но я также в курсе, что есть и другие