Электроны в постоянном электрическом поле (1+1)

[Daniel_dgap]

Добрый день, господа! Хочу разобраться с одним вопросом. Я рассматриваю КЭД в 1+1 в постоянном электрическом поле $A_{\mu} = (0, At)$. Уравнение, соответственно $\Big( i\gamma_{\mu}D_{\mu} - m\Big) \Psi(t,x) = 0$. Для удобства перехода к линейной системе выберу матрицы так:

$$\gamma_0 = \begin{pmatrix} 0& 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}; \ \gamma_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \end{pmatrix}$$

. Получаю систему:

$$ \Big( i\partial_t - (p + eAt) \Big) \psi^{(1)} = m \psi^{(2)}$$

$$ \Big(i\partial_t +(p + eAt) \Big) \psi^{(2)} = m\psi^{(1)} $$

Не вдаваясь в подробности получающихся решений, запишу конечный результат для спинора с положительной энергией, как

$$ \Psi^{(+)} = \begin{pmatrix} \psi^{(1)}(t) \\ \psi^{(2)}(t) \end{pmatrix}e^{-ipx} $$

. Переход к спинору с отрицательной энергией можно осуществить, как $\Psi^{(-)} = \gamma_0 \gamma_1 \Psi^{(+)}^* = \gamma^5 \Psi^{(+)} $, причем видно, что $ \gamma^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & -1 \end{pmatrix}$. Тогда $ \Psi^{(-)} = \begin{pmatrix} \psi^{(1)}^*(t) \\ -\psi^{(2)}^*(t) \end{pmatrix} e^{ipx} $. Хорошо, теперь я хочу нормировать мои решения из антикоммутационных соображений:

$$ \{ \Psi_p(t,x) \Psi_q^{\dagger}(t,y)\} = \int \frac{dp}{2\pi}\frac{dq}{2\pi} \Big( \{a_p a_q^+\} \Psi^{(+)}^{\dagger}\Psi^{(+)} e^{i(qy-px)} + \{b_p^+ b_q\} \Psi^{(-)}^{\dagger}\Psi^{(-)}e^{i(px-qy)}\Big)$$

Отсюда можно получить, что
$ \psi^{(1)}^* \psi^{(2)} - \psi^{(1)} \psi^{(2)}^* = 1$, но, из системы легко видеть, что данное выражение не является независящим от времени, потому что $\partial_t (\psi^{(1)}^* \psi^{(2)} - \psi^{(1)} \psi^{(2)}^*) \not= 0$. Кроме того, можно посчитать то, что называется invariant inner product как $\Psi^{(+)}^{\dagger} \gamma_0 \Psi^{(+)}$ и получить $(\psi^{(1)}^* \psi^{(2)} + \psi^{(1)} \psi^{(2)}^*)$, производная данного выражения по времени опять-таки не ноль. Но, если взять $(|\psi^{(1)}|^2 + |\psi^{(2)}|^2 )$, то такое выражение действительно сохраняется. Либо я где-то делаю глупую ошибку, либо чего-то не понимаю. Помогите пожалуйста разобраться. Казалось бы, антикоммутационное соотношение должно давать мне верный и независящий от времени результат

[Gickle]

Daniel_dgap в сообщении #1308669 писал(а):

$$ \{ \Psi_p(t,x) \Psi_q^{\dagger}(t,y)\} = \int \frac{dp}{2\pi}\frac{dq}{2\pi} \Big( \{a_p a_q^+\} \Psi^{(+)}^{\dagger}\Psi^{(+)} e^{i(qy-px)} + \{b_p^+ b_q\} \Psi^{(-)}^{\dagger}\Psi^{(-)}e^{i(px-qy)}\Big)$$

Пока только по диагонали глянул, но сразу бросается в глаза вот эта строчка. У вас в левой части стоят какие-то непонятные звери в лице $\Psi_p(t,x)$ и $\Psi_q^{\dagger}(t,y)$, при этом правая часть от $p,q$ не зависит. Это опечатка? Если да, то что вы планировали там написать? И выпишите конкретное выражение для того, что вы хотели там изобразить.

[Daniel_dgap]

справедливое замечание. Я, конечно, имел в виду следующее:
$\Psi_p(t,x) = \int \frac{dp}{2\pi} \Big( a_p \Psi_p^{(+)}(t) e^{-ipx} + b_p^+ \Psi_p^{(-)}e^{ipx}\Big) $
Тогда, подставляя в антикоммутатор:

$\{ \Psi_p(t,x) \Psi_q^{\dagger}(t,y)\} = \int \frac{dp}{2\pi}\frac{dq}{2\pi} \Big( \{a_p a_q^+\} \Psi_p^{(+)}^{\dagger}\Psi_q^{(+)} e^{i(qy-px)} + \{b_p^+ b_q\} \Psi_p^{(-)}^{\dagger}\Psi_q^{(-)}e^{i(px-qy)}\Big) = \int \frac{dp}{2\pi} \Big( \Psi_p^{(+)}^{\dagger}\Psi_p^{(+)}e^{ip(y-x)} + \Psi_p^{(-)}^{\dagger}\Psi_p^{(-)}e^{ip(x-y)} \Big) $
Здесь я использовал, что $\{ a_p a_q^+ \} = \{ b_p b_q^+\} =2\pi \delta(p-q)$.

[Gickle]

Daniel_dgap в сообщении #1308681 писал(а):

$\Psi_p(t,x) = \int \frac{dp}{2\pi} \Big( a_p \Psi_p^{(+)}(t) e^{-ipx} + b_p^+ \Psi_p^{(-)}e^{ipx}\Big) $

Ещё раз: вы понимаете, что у вас в левой части стоит величина, зависящая от $p$, а в правой - от $p$ не зависящая? К чему индекс слева? И что вы вообще понимаете под $f_p(t,x)$? К слову, какие бы у этого были физические последствия?

Едем дальше. Почему вы именно этот антикоммутатор хотите вычислить? Если у вас цель вычислить фермионный пропагатор, то вы точно ничего не забыли? ;)

P.S. Вопрос на засыпку. Как в вашем случае нормированы одночастичные состояния?

[Daniel_dgap]

Да, Вы правы, индекс p здесь абсолютно лишний.
Я не хочу вычислять фермионный пропагатор, я хочу нормировать мои моды из условия $\{\Psi(t,x) \Psi^{\dagger}(t,y) \} = \delta(x-y)$, что эквивалентно условию $[\psi(t,x),\pi(t,y)] = \delta(x-y)$ для случая скалярной теории поля

[Daniel_dgap]

Причем, А. И. Никишов в своей статье 69 года рассматривает такую же задачу (правда, в 3+1) и выписывает нормировочный коэффициент, говоря, что он берется из уравнения Дирака
http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_030_04_0660.pdf
(перед выражением 4)

[Daniel_dgap]

В действительности, проблема проще, чем казалось. На самом деле умножение на $\gamma^5$ и сопряжение не делает из спинора с положительной энергией спинор с отрицательной, потому что для спинора с отрицательной энергией система уравнений будет меняться, а значит и аргумент моды, решающей систему. Поэтому с нормировкой все будет не так плохо

[Daniel_dgap]

на самом деле, в этой связи возникает еще один простой вопрос. Если я ищу отрицательно-частотное решение моего уравнения в виде $\Psi^{(-)} (t,x) = \begin{pmatrix} \xi_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} e^{ipx}$, то приду к системе:

$$ \Big( i\partial_t + (p-eAt) \Big) \xi_1 = m \xi_2 $$

$$ \Big( i\partial_t - (p - eAt) \Big) \xi_2 = m\xi_1 $$

И решением будут функции, зависящие от $(p-eAt)$. В свою очередь для положительно частотных решений получались функции, зависящие от $(p+eAt)$. Что же получается, что не существует оператора, переводящего положительно-частотное решение в отрицательно-частотное?

[Gickle]

Извиняюсь, что выпал из разговора - мне совсем не до этого было на этой неделе. Хотя, вообще говоря, мне как-то сильно добавить особо нечего. Главным образом из-за утверждений типа

Daniel_dgap в сообщении #1308669 писал(а):

Отсюда можно получить, что
$ \psi^{(1)}^* \psi^{(2)} - \psi^{(1)} \psi^{(2)}^* = 1$, но, из системы легко видеть, что данное выражение не является независящим от времени

Советую всё-таки нормально расписывать выкладки, а не ограничиваться "из этого легко видеть, что...", потому что такое читать никто вообще не будет.

P.S. Вообще, дам совет небольшой - ищите по теме "Schwinger effect" или "Schwinger pair production".

[Daniel_dgap]

$\{ \Psi_p(t,x) \Psi_q^{\dagger}(t,y)\} = \int \frac{dp}{2\pi}\frac{dq}{2\pi} \Big( \{a_p a_q^+\} \Psi_p^{(+)}^{\dagger}\Psi_q^{(+)} e^{i(qy-px)} + \{b_p^+ b_q\} \Psi_p^{(-)}^{\dagger}\Psi_q^{(-)}e^{i(px-qy)}\Big) = \int \frac{dp}{2\pi} \Big( \Psi_p^{(+)}^{\dagger}\Psi_p^{(+)}e^{ip(y-x)} + \Psi_p^{(-)}^{\dagger}\Psi_p^{(-)}e^{ip(x-y)} \Big) = \delta(x-y) $, что соответствует нормировке на антикоммутатор.
Как я обозначил в первом сообщении, $\Psi^{(+)} = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}$ буду называть положительно-частотным решением. Пусть я нашел из требований на алгебру $\gamma^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ и говорю, что отрицательно-частотный спинор я могу получить из зарядового сопряжения положительно-частотного спинора, то есть $\Psi^{(-)} = \gamma^5 \Psi^{(+)}^* = \begin{pmatrix} \psi_1^* \\ -\psi_2^* \end{pmatrix}$. Теперь смотрю на антикоммутатор. Чтобы получить дельта-функцию от разности координат, сумма моих спиноров должна давать единицу, т.е. $ \Psi_p^{(+)}^{\dagger}\Psi_p^{(+)} + \Psi_p^{(-)}^{\dagger}\Psi_p^{(-)} = 1$.

Рассмотрим подробнее компоненты этой суммы. Выше уже написаны $\Psi^{(+)}$ и $\Psi^{(-)}$. Тогда $\Psi^{(+)}^{\dagger} = \begin{pmatrix} \psi_1^*, & \psi_2^* \end{pmatrix}$, а $\Psi^{(-)}^{\dagger} = \begin{pmatrix} \psi_1, & -\psi_2 \end{pmatrix}$.

Возьмем компоненты 1 и 2 и получим, что $\psi_1^* \psi_2 - \psi_1 \psi_2^* = 1$. Насколько я понимаю, нормировочное соотношение из антикоммутатора должно сохраняться, но, если продифференцировать получение выражение по времени, то мы получим не ноль. С другой стороны, можно подобрать такое соотношение, которое, в силу уравнения Дирака, сохраняться будет, а именно $\psi_1 \psi_1^* + \psi_2 \psi_2^*$.

Отсюда напрашивается вывод, что антикоммутатор дает неправильный результат, а значит неправильно написан переход от положительно-частотного решения к отрицательно-частотному. Если начать искать отрицательно-частотное решение подставляя другой анзац (с экспонентой, бегущей в другую сторону), то получится система, решением которой являются функции, зависящие теперь уже от $(p-eAt)$, a не от $(p+eAt)$. Но, в таком случае, я не понимаю, каким оператором я могу перевести мой положительно-частотный спинор в отрицательно-частотный.

Что касается Швингеровского результата, то я смотрел статьи, но проблема заключается в том, что в них либо используют квазиклассический подход, либо считают распад вакуума посредством боголюбовского поворота от гармоник на минус бесконечности к гармоникам на плюс бесконечности, при этом вопросы нормировки не затрагиваются за ненадобностью.