Показать, что данная функция интегрируема на любом отрезке.

[eugensk]

Можно, я подтолкну процесс?

На отрезке $[0,1]$ точек, в которых $\varphi(x)\geqslant 0.01$, самое больше сколько? Нужно не точное значение, а оценка сверху. Прямо посчитайте и назовите это число.
Теперь скажите, какой надо взять $\delta$, чтобы при $\Delta x_i < \delta,$ было заведомо $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i< 0.02$ ? Мы все еще рассматриваем разбиение $[0,1]$.
(подсказка: часть промежутков будет содержать точки, которые вы нашли на первом шаге, часть нет, вы аккуратно оцените вклад соответственных слагаемых по раздельности)

[provincialka]

Честно говоря, я не думала над этой задачей, просто прочитала советы ...
В конце концов, отрезок $[a,b]$ лишь в конечное число раз больше отрезка $[0,1]$, так что разница в оценках несущественная...

[mihaild]

Ну и функция вообще периодична с периодом $1$, так что отрезка $[0; 1]$ достаточно.

[bitcoin]

eugensk в сообщении #1307958 писал(а):

На отрезке $[0,1]$ точек, в которых $\varphi(x)\geqslant 0.01$, самое больше сколько?

100 точек

eugensk в сообщении #1307958 писал(а):

Теперь скажите, какой надо взять $\delta$, чтобы при $\Delta x_i < \delta,$ было заведомо $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i< 0.02$ ?

Если рассматривать слагаемые, для которых $\varphi(x)\geqslant 0.01$, то для них можно брать спокойно $\delta =0,01$, получится даже, что $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i< 0.01$, но в таком случае, нужно показать, что для случая $\varphi(x)<0.01$ нужно показать, что также $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i< 0.01$, тогда выйдет, что оценки сверху сложатся $0,01+0,01=0,02$. А то, что для случая$\varphi(x)<0.01$ выполняется неравенство $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i< 0.01$ -- очевидно!

[eugensk]

100 точек значит, понятно, это видимо 1/100 2/100 и т.д.
а как же 3/79, например? 1/79 > 0.01, разве нет? и мы её не посчитали

[bitcoin]

eugensk в сообщении #1308007 писал(а):

а как же 3/79 например?

Точно, забыл про числитель, но тогда $10 000$ значений и нужно брать $\delta=10^{-4}$

[eugensk]

Ну да, идея верная, и оценка подходит. Но это не решение еще, нужно воспроизвести все подробности, и конечно заменить 0.02 на произвольный положительный эпсилон. Я думаю, вы у себя это сделаете без проблем.

[bitcoin]

Спасибо!

На отрезке $[0,1]$ точек, в которых $\varphi(x)\geqslant \frac{1}{n}$ будет не более $\dfrac{1}{n^2}$,берем $\delta =\dfrac{1}{n^2}$

Тогда $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i<\dfrac{1}{n}$, верно ли это?

[mihaild]

bitcoin в сообщении #1308016 писал(а):

точек, в которых $\varphi(x)\geqslant \frac{1}{n}$ будет не более $\dfrac{1}{n^2}$

То есть на отрезке не более $\frac{1}{4}$ точки, в которых $\varphi(x) \geqslant \frac{1}{2}$?

bitcoin в сообщении #1308016 писал(а):

Тогда $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i<\dfrac{1}{n}$,

У вас две группы отрезков: те, где $\varphi > \vareps$ (таких отрезков мало, и они должны вносить малый суммарный вклад за счет малости $\Delta x_i$), и где $\varphi < \vareps$ (их может быть много, но они должны вносить малый суммарный вклад за счет малости $\w_i$ и ограниченности $\sum \Delta x_i$). Можете точно указать ограничения на сумму по тем и другим отрезкам?

[bitcoin]

mihaild в сообщении #1308018 писал(а):

То есть на отрезке не более $\frac{1}{4}$ точки, в которых $\varphi(x) \geqslant \frac{1}{2}$?

Спасибо, опечатался, $n^2$ точек. Над вторым вопросом подумаю

-- 27.04.2018, 19:29 --

Пока что не получается догадаться -- как точно указать точные ограничения по отрезкам.

[mihaild]

Вот взяли разбиение радиуса $\delta$ и зафиксировали $\varepsilon > 0$.
На скольки максимум отрезках из этого разбиения $w_i > \varepsilon$?
Какой может быть максимум их суммарная длина?
Какое в результате получается ограничение на сумму $w_i \Delta x_i$ по этим отрезкам?
Рассмотрим оставшиеся отрезки: какой может быть максимум их суммарная длина?
Что можно сказать про $w_i$ на этих отрезках?
Какое в результате получается ограничение на сумму $w_i \Delta x_i$ по этим отрезкам?

[bitcoin]

mihaild в сообщении #1308086 писал(а):

Вот взяли разбиение радиуса $\delta$ и зафиксировали $\varepsilon > 0$.
На скольки максимум отрезках из этого разбиения $w_i > \varepsilon$?

В $\left[\dfrac{1}{\varepsilon^2}\right]+1$

mihaild в сообщении #1308086 писал(а):

Какой может быть максимум их суммарная длина?

$\delta \cdot \left(\left[\dfrac{1}{\varepsilon^2}\right]+1\right)$

-- 28.04.2018, 19:42 --

mihaild в сообщении #1308086 писал(а):

Какое в результате получается ограничение на сумму $w_i \Delta x_i$ по этим отрезкам?

Такое же $\delta \cdot \left(\left[\dfrac{1}{\varepsilon^2}\right]+1\right)$

mihaild в сообщении #1308086 писал(а):

Рассмотрим оставшиеся отрезки: какой может быть максимум их суммарная длина?

(Оффтоп)

Пока не знаю, потому как не знаю, как найти количество отрезков, для которых $\varphi\leqslant \varepsilon$.

Взял конкретный $\varepsilon=\dfrac{1}{100}$, для него не получается найти количество отрезков, для которых $\varphi\leqslant 0,01$, потому как нам подойдут отрезки, которые содержать числа: $\dfrac{1}{101}$;$\dfrac{1}{102}$;$\dfrac{1}{101}$;...;$\dfrac{1}{9999999}$;... а также там куча вариантов для числителей (не только 1), точно ли это число будет ограничено?

mihaild в сообщении #1308086 писал(а):

Что можно сказать про $w_i$ на этих отрезках?

Каждое $w_i\leqslant \varepsilon$

Хотя может просто для этих отрезков сумму мо $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i$ ограничить $\varepsilon$? Не слишком ли это будет жестко?

-- 28.04.2018, 20:03 --

mihaild в сообщении #1308086 писал(а):

Какое в результате получается ограничение на сумму $w_i \Delta x_i$ по этим отрезкам?

Если для всех отрезков, то получается, что $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i\leqslant \delta \cdot \left(\left[\dfrac{1}{\varepsilon^2}\right]+1\right)+\varepsilon$

[mihaild]

bitcoin в сообщении #1308417 писал(а):

Пока не знаю, потому как не знаю, как найти количество отрезков, для которых $\varphi\leqslant \varepsilon$.

Хорошего способа нет (т.к. число отрезков в разбиении может быть сколь угодно большим).

bitcoin в сообщении #1308417 писал(а):

Хотя может просто для этих отрезков сумму мо $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i$ ограничить $\varepsilon$?

Что это значит? У вас уже есть разбиение с некоторыми свойствами, от него нельзя просто так что-то потребовать, только доказать что что-то для него выполнено.
Воспользуемся простым фактом: $\sum w_i \Delta x_i \leqslant \max(w_i) \sum \Delta x_i$. Если учесть, что $w_i \leqslant \varepsilon$ - то что получится?

[bitcoin]

mihaild в сообщении #1308422 писал(а):

Воспользуемся простым фактом: $\sum w_i \Delta x_i \leqslant \max(w_i) \sum \Delta x_i$. Если учесть, что $w_i \leqslant \varepsilon$ - то что получится?

Понимаю, что получится $\sum w_i \Delta x_i \leqslant \max(w_i) \sum \Delta x_i\leqslant \varepsilon\sum \Delta x_i$

Но такая оценка не будет ли слишком грубой? $\varepsilon\sum \Delta x_i\leqslant \varepsilon$?

-- 28.04.2018, 20:19 --

Кстати, придумал получше оценку!



$\varepsilon\sum \Delta x_i\leqslant \varepsilon \left(1-\delta \cdot \left(\left[\dfrac{1}{\varepsilon^2}\right]+1\right)\right)$

-- 28.04.2018, 20:20 --

Если для всех отрезков, то получается, что $\displaystyle\sum_{i}\omega_i\Delta x_i\leqslant \delta \cdot \left(\left[\dfrac{1}{\varepsilon^2}\right]+1\right)+ \varepsilon \left(1-\delta \cdot \left(\left[\dfrac{1}{\varepsilon^2}\right]+1\right)\right)$

[mihaild]

bitcoin в сообщении #1308424 писал(а):

Но такая оценка не будет ли слишком грубой? $\varepsilon\sum \Delta x_i\leqslant \varepsilon$?

А вы посмотрите: удастся ли вам для любого числа $q$ подобрать такие $\varepsilon$ и $\delta$, чтобы итоговая оценка на колебание получилась меньше $p$?
(откуда, кстати, вы взяли $\varepsilon \sum \Delta x_i \leqslant \varepsilon$? это правда, но нужно уметь это доказывать)