Показать, что данная функция интегрируема на любом отрезке.

[bitcoin]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться! Показать, что данная функция интегрируема на любом конечном промежутке.

Функция задается следующим образом:

$$\varphi(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x$ иррационально}\\ \frac{1}{n},&\text{если $x=\frac{m}{n}$;}\\ \end{cases}$$

, где $m$ и $n$ взаимно просты.

Насколько я понял, нужно рассмтреть некоторый отрезок $[a;b]$. Условие интегрируемости:

Функция интегрируема на сегменте $[a;b]$, если на данном сегменте выполнеяется равенство:

$\displaystyle\lim_{a\to 0}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\omega_i\Delta x_i=0$, где $a=\max|\Delta x_i|$ и $\omega_i=M_i-m_i$ --колебание $f(x)$ на сегменте $[x_i;x_{i+1}]$

Так как $m$ и $n$ взаимно просты, то оценка сверху для колебания будет $1$ , так как $m<n$ (но боюсь, что это слишком грубая оценка).

Далее, есть мысль расписать по определению предела.

$\forall \varepsilon>0$ нужно подобрать номер $N$ из каких-то соображений, но из каких?

И вопрос по поводу разбиения -- нужно делать произвольное разбиение отрезка или же равномерное или какое еще удобно будет. Пока далее нет идей.

[mihaild]

Давайте возьмем отрезок $[0; 1]$ и $a = \frac{1}{4}$. Оцените получающуюся сумму. Например, сколько из $w_i$ могут быть больше $\frac{1}{3}$?
(вы знаете критерий Лебега интегрируемости по Риману? если да, то всё совсем просто)

bitcoin в сообщении #1307656 писал(а):

И вопрос по поводу разбиения -- нужно делать произвольное разбиение отрезка или же равномерное или какое еще удобно будет

Определение повнимательнее посмотрите, какие разбиения рассматриваются.

[bitcoin]

mihaild в сообщении #1307657 писал(а):

Определение повнимательнее посмотрите, какие разбиения рассматриваются.

Понял, что произвольное, извиняюсь за глупый вопрос.

mihaild в сообщении #1307657 писал(а):

(вы знаете критерий Лебега интегрируемости по Риману? если да, то всё совсем просто)

Не знаю, к сожалению, но погуглил, формулировка показалась очень сложной.

mihaild в сообщении #1307657 писал(а):

Давайте возьмем отрезок $[0; 1]$ и $a = \frac{1}{4}$. Оцените получающуюся сумму. Например, сколько из $w_i$ могут быть больше $\frac{1}{3}$?

Сейчас подумаю, отвечу, секунду

-- 26.04.2018, 16:43 --

Могу очень грубо оценить:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\omega_i\Delta x_i\leqslant \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}0,25=0,25n$

[mihaild]

bitcoin в сообщении #1307659 писал(а):

Могу очень грубо оценить:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\omega_i\Delta x_i\leqslant \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}0,25=0,25n$

Нет, настолько грубо не пойдет. В скольки слагаемых максимум $w_i > \frac{1}{3}$? Что можно сказать про $\Delta x_i$ в этих слагаемых? Что можно сказать про $w_i$ и сумму $\Delta x_i$ в остальных?

[bitcoin]

mihaild в сообщении #1307662 писал(а):

. В скольки слагаемых максимум $w_i > \frac{1}{3}$? Что можно сказать про $\Delta x_i$ в этих слагаемых? Что можно сказать про $w_i$ и сумму $\Delta x_i$ в остальных?

Если $\omega_i>\frac{1}{3}$, то на данном отрезке $[x_i;x_{i+1}]$ есть дробь $\dfrac{1}{2}$, могу сказать, что каждое из остальных колебаний будет $\leqslant \dfrac{1}{3}$, а их соответствующие $\Delta x_i<0,5$, верно ли это? Про сумму $\displaystyle\sum\Delta x_i\leqslant 1+0,5(n-1)=0,5n+0,5$

-- 26.04.2018, 17:14 --

$\displaystyle\sum\omega_i\Delta x_i\leqslant 1+0,5(n-1)\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{n+5}{6}$

-- 26.04.2018, 17:15 --

Грубые ли такие оценки?

[mihaild]

Ну вам нужна оценка которая хотя бы не растет с ростом числа слагаемых суммы:)

Пусть $x_i$ - разбиение $[0; 1]$. Чему равно $\sum \Delta x_i$?

[bitcoin]

mihaild в сообщении #1307678 писал(а):

Пусть $x_i$ - разбиение $[0; 1]$. Чему равно $\sum \Delta x_i$?

Точно, туплю, $\sum \Delta x_i=1$

Для отрезка $[a;b]$ будет $\sum \Delta x_i=b-a$

Но пока не очевидно -- как это поможет

-- 26.04.2018, 22:55 --

Теперь можно оценить $\sum \omega_i \Delta x_i\leqslant \sum \Delta x_i\leqslant b-a$, то есть $\sum \omega_i \Delta x_i\leqslant b-a$.

Получилось ограничить константой, но было бы идеально, если бы получилось бы ограничить чем-то таким $(b-a)\cdot o\left(\dfrac{1}{n}\right)$, тогда это бы доказало интегрируемость

[mihaild]

А теперь смотрите: у вас есть максимум два слагаемых, для которых $w_i > \frac{1}{3}$ (чему равна $\sum \Delta x_i$ для них?), и для остальных $w_i < \frac{1}{3}$, $\sum \Delta x_i \leqslant 1$. Какое это ограничение дает на всю сумму?

[bitcoin]

mihaild в сообщении #1307781 писал(а):

у вас есть максимум два слагаемых, для которых $w_i > \frac{1}{3}$ (чему равна $\sum \Delta x_i$ для них?)

Для них $\sum \Delta x_i<1$, насколько я понимаю. А ограничение дает на сумму тогда $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot 1=1$, но чувствую, что что-то не так

-- 27.04.2018, 00:05 --

Для наглядности я взял наугад разбиение отрезка $[0;1]$ на несколько частей и понял, что не очень понимаю принцип построения оценки для колебания

$0\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{100\pi}$ оценка для колебания $\omega_1=\dfrac{1}{[100\pi]}$

$\dfrac{1}{100\pi}\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{39\pi}$ оценка для колебания $\omega_2=\dfrac{101-39}{[39\cdot 101\pi]}$ сомневаюсь уже тут...

$\dfrac{1}{39\pi}\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{19\pi}$

$\dfrac{1}{19\pi}\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{3\pi}$

$\dfrac{1}{19\pi}\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{\pi}$

$\dfrac{1}{\pi}\leqslant x\leqslant\dfrac{2}{\pi}$

$\dfrac{2}{\pi}\leqslant x\leqslant 1$

[provincialka]

bitcoin в сообщении #1307785 писал(а):

Для них $\sum \Delta x_i<1$, насколько я понимаю.

Грубо, товарищ, грубо... Два слагаемых соответствуют двум промежуткам, длина каждого меньше диаметра разбиения (или вы называете его "мелкостью"?)

[bitcoin]

provincialka в сообщении #1307796 писал(а):

Грубо, товарищ, грубо... Два слагаемых соответствуют двум промежуткам, длина каждого меньше диаметра разбиения (или вы называете его "мелкостью"?)

Значит $\leqslant \dfrac{2}{3}$?

[mihaild]

bitcoin в сообщении #1307799 писал(а):

Значит $\leqslant \dfrac{2}{3}$?

Мы же на части, не большие $\frac{1}{4}$ бьем.

[bitcoin]

mihaild в сообщении #1307802 писал(а):

Мы же на части, не большие $\frac{1}{4}$ бьем.

Точно, я уже забыл, что мы диаметр разбиения зафиксировали). Тогда $\leqslant 0,5$. Только не очень понятно -- а почему 2 слагаемых?

[provincialka]

bitcoin в сообщении #1307878 писал(а):

Только не очень понятно -- а почему 2 слагаемых?

Видимо, это на отрезке $[0,1]$. На остальные случаи можно масштабировать...

[bitcoin]

provincialka в сообщении #1307906 писал(а):

bitcoin в сообщении #1307878 писал(а):

Только не очень понятно -- а почему 2 слагаемых?

Видимо, это на отрезке $[0,1]$. На остальные случаи можно масштабировать...

Спасибо, но если масштабировать, получается, что оценка сверху $0,25n$, что есть возрастающая функция, а это нехорошо...(и это уже было)