Количество числовых действий

[AD]

shust писал(а):

Вопрос такой, что дает или может дать переход от представления числовых действий в традиционной классической символьной форме к числовой форме их представления?

Как смена обозначений вообще может что-то давать?

[Someone]

AD писал(а):

Как смена обозначений вообще может что-то давать?

Ну, представьте себе, что Вы записываете алгебраические уравнения и формулы для их решения словами, применяя термины наподобие "квадратоквадрат", "кубоквадрат", "кубокуб" и т.д. для обозначения степеней, и вдруг Вам показали современную символику и научили бегло с ней управляться...

Но предлагаемый shustом способ с этой точки зрения выглядит скорее как шаг назад, чем вперёд. Для арифметических операций и возведения в степень есть удобные обозначения, а потребности в расширении множества операций над действительными числами не ощущается. Вот всяких функций действительно постоянно не хватает (зря, что ли, такая пропасть "специальных" функций расплодилась), но предложения shustа идут, скорее, в перпендикулярном направлении.

[shust]

AD писал(а):

shust писал(а):

Вопрос такой, что дает или может дать переход от представления числовых
действий в традиционной классической символьной форме к числовой форме их представления?

Как смена обозначений вообще может что-то давать?

Механическая замена привычных знаков арифметических действий ($+,-, log$ ..) на другие, хотя и более
единообразные, конечно мало, что может дать, если рассматривать и определять действия по-прежнему
независимо друг от друга. Однако под числовой формой представления арифметических операций
подразумевается нечто другое.
О представлении действий в виде обобщенной функции Аккермана уже говорилось в выступлениях и ранее
в этой теме и по адресу http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=108295#108295.
Что касается общего действия, то об этом тоже немало говорилось, в том числе и в этой теме.

В данной теории вместо обычного набора арифметических операций вводится единый математический объект
- общее действие, в котором один из параметров - операционный - является числовой переменной,
при значении которой, равного одному из целых чисел диапозона от -3 до 3, общее действие совпадает
с одной из арифметических операций от логарифмирования до возведения в степень, соответственно.

Такой подход дает немало преимуществ по сравнению с традиционной точкой зрения, когда операции
рассматриваются по раздельности. Перечислим некоторые из них.

1. Этот подход позволяет расширить число арифметических операций с обычного набора до, по крайней мере,
множества целых чисел.

2. Позволяет установить свойства операций, общие для них всех. Один из примеров такого рода приведен в
выступлении http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=106295#106295 . Другой пример: для любого
натурального $n$ имеет место $3[n+1]2=4[n]2$ или в привычных обозначениях $3*2=4+2, 2^3=4*2, 2^{2^2}=2^4$ .

3. Позволяет установить свойства операций, удовлетворяющим дополнительным свойствам, например свойствам
ассоциативности и коммутативности, имеющим место при $n = 1$ и $n = 2$ (см.http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=114444#114444).

4. Устанавливает связь операций между собой и их упорядоченность, соответствующая упорядоченности
целых чисел.

5. Устанавливает определенность некоторых выражений, которые при класическом подходе считаются не
имеющими смысла, например $0^0$, о чем много сказано в теме по адресу http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=91240#91240
Как сказал В.А.Успенский (http://lib.mexmat.ru/books/116, стр.108): "Наполнение смыслом понятий, традиционно
рассматриваемых как не имеющих смысла, - важный шаг в развитии науки".

Я уж не говорю об унификации обозначений в этом случае по сравнению традиционным подходом, когда
арифметические действия обозначаются самыми разными способами: $a+b$, $a^b$, $log_ba$ и т.д. .

Someone писал(а):

Для арифметических операций и возведения в степень есть удобные обозначения, а потребности в расширении
множества операций над действительными числами не ощущается.

Особой, а тем более практической потребности в развитии некоторых понятий и областей математики и ранее, да
и сейчас тоже явно не наблюдается. Но вот, например, теория чисел, считавшаяся ранее одним из не имеющих
практических приложений разделов математики, сейчас активно используется, например, в криптографии.

Развитие науки далеко не всегда определяется непосредственной практической необходимостью, а обуславливается
множеством других факторов. Никто не знает, что получится из новорожденного ребенка.
Только время может может все расставить по своим местам и установить значимость теории, приняв её или отбросив её в пучину забвения.

[naiv1]

shust писал(а):

При этом подходе символам арифметических операций ставятся в соответствие для прямых операций - сложение, умножение, возведение в степень - натуральные числа, для обратных операций - вычитание, деление, логарифмирование - соответствующие им противоположные, т.е. отрицательные числа:
... log .. / .. - .. нет .. + .. * ... ^
...-3 .. -2 .. -1 .. 0 .... 1 .. 2 .. 3 ...

Непонятно, а где же здесь операция извлечение корня?

[shust]

naiv1 писал(а):

Непонятно, а где же здесь операция извлечение корня?

В привычных обозначениях имеет место формула
$\sqrt[a]{c} = c^{1/a}$
(см., например http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C)
т.е. операция извлечения корня есть действие возведение в степень с определенным значением показателя степени.
Соответственно, операция извлечения корня выражается в обозначениях общего действия как
$\sqrt[a]{c} = (1/a)[3]c$ .

Попутно отвечаю на вопрос, поставленный ранее (http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=114444#114444):

shust писал(а):

И второй вопрос. В подходе общего действия устанавливается истинность при $n = 1, 2$ и, по крайней мере, для неотрицательных $a$, $b$, $c$, например, такой формулы:
$(a+b)[n+1]c = (a[n+1]c)[n](b[n+1]c)$
Как можно интерпретировать эту формулу в привычных обозначениях?

При $n=1$ формула соответствует дистрибутивному закону умножения относительно сложения
(http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C):
$(a+b)*c=a*c+b*c$
При $n=2$ формула соответствует правилу возведения в степень суммы показателей
(http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C):
$c^{a+b} = c^a*c^b$