Сложение векторных множеств

[umarus]

Добрый день. Несколько связанных вопросов про векторные множества/пространства?

1)Не могу понять что означает "и" в этом примере:
Доказать, что $x=z$ и $x=-z$ является подпространством. Что это? Объединение множеств?

2) или вот $\[W = \left\{ {(x,y,z) \in {R^3}:x - 2y + 4z = 0,x + y + 2z = 0,\,2x - y - 3z = 0} \right\}\]$. С чем это едят? Ну в смысле, как это понимать?

[thething]

umarus в сообщении #1307264 писал(а):

Ну в смысле, как это понимать?

Видимо, понимать, как СЛАУ

[Xaositect]

umarus в сообщении #1307264 писал(а):

Доказать, что $x=z$ и $x=-z$ является подпространством.

Прямо так и написано? Тут даже русский язык хромает, не говоря уже о том, что равенство подпространством быть не может. Процитируйте задание точно.

umarus в сообщении #1307264 писал(а):

2) или вот $\[W = \left\{ {(x,y,z) \in {R^3}:x - 2y + 4z = 0,x + y + 2z = 0,\,2x - y - 3z = 0} \right\}\]$. С чем это едят? Ну в смысле, как это понимать?

$W$ есть множество всех векторов $(x, y, z)$ из $\mathbb R^3$, удовлетворяющих условиям $x - 2y + 4z = 0,x + y + 2z = 0,\,2x - y - 3z = 0$.

[umarus]

Добрый день. Несколько связанных вопросов про векторные множества/пространства?


1)Не могу понять что означает "и" в этом примере:
Доказать, что $x=z$ и $x=-z$ является подпространством. Что это? Объединение множеств?

2) или вот $\[W = \left\{ {(x,y,z) \in {R^3}:x - 2y + 4z = 0,x + y + 2z = 0,\,2x - y - 3z = 0} \right\}\]$. С чем это едят? Ну в смысле, как это понимать?

3) Дано такое определение $\[{A_1} + {A_2} = \left\{ {{a_1} + {a_2}|{a_1} \in {A_1}\, and {\rm{ }}\,{a_2} \in {A_2}} \right\}\]$. Может верхние задачи связаны с этим определение?

Заранее благодарю за вашу помощь и время!

GAA:

Предупреждение за дублирование темы. Ветки соединены.

[alcoholist]

1) имеется ввиду и та плоскость, и вторая

-- Ср апр 25, 2018 17:05:55 --

2) пересечение трех плоскостей же

-- Ср апр 25, 2018 17:06:50 --

3) напрямую нет

[umarus]

alcoholist
1. Тоесть объединение? Тогда является ли подпространством? (Есть возможность что утверждение неверно, вообще много ошибок в этих записях)
Верна ли такая логика: Возьмем (2,0,2) и (5, 0, -5), тогда их сумма не принадлежит ни $x=z$ , ни $x=-z$. Следовательно не является подпространством.

2. Если пересечение плоскостей, разве это не точка (0,0,0) и пример не имеет особого смысла?

[DeBill]

umarus в сообщении #1307312 писал(а):

Тоесть объединение?

То есть, НЕ объединение, но каждое из них двух

[umarus]

DeBill
Не понятно. Может примером можно обьяснить, эти... эти... точки/векторы.

-- Ср апр 25, 2018 20:35:46 --

Xaositect
Перевод задачи. Один из нижеследующих является подпространством: 1...... 2...... 3...... 4 $x=z$ и $x=-z$. Спрашивается какой? В решении 4й.

-- Ср апр 25, 2018 20:39:48 --

thething
Решение СЛАУ или что-то другое? можете пример точек привести?

-- Ср апр 25, 2018 20:41:54 --

umarus в сообщении #1307264 писал(а):

2) или вот $\[W = \left\{ {(x,y,z) \in {R^3}:x - 2y + 4z = 0,x + y + 2z = 0,\,2x - y - 3z = 0} \right\}\]$. С чем это едят? Ну в смысле, как это понимать?

$W$ есть множество всех векторов $(x, y, z)$ из $\mathbb R^3$, удовлетворяющих условиям $x - 2y + 4z = 0,x + y + 2z = 0,\,2x - y - 3z = 0$.[/quote]

Сразу всем или любому из них?

[DeBill]

Мне кажется, разговор какой то не по делу идет....
Про 1): приведенная Вами фраза некорректна, а попытки сделать ее осмысленной могут привести к разным ее толкованиям.
Вам хочется ее понимать так: "объединение множеств, заданных уравнениями $x=z$ и $x=-z$ является...". И Вы совершенно верно показали, что это неверно.
Однако народ толкует о том, что фраза эта больше походит на "множества ... являЮтся .... (в смысле, каждое из них)" - и это уже правда.
Про 2): опять же, Вы правы: $W$ состоит ровно из нуля, и пример действительно тривиален. Однако, для решения Вам пришлось таки решить систему уравнений. Вместе с тем, ответ "да, является" можно было получить и не решая её, из общих соображений "линейности" - и в этом смысле, пример таки имеет особый смысл

umarus в сообщении #1307349 писал(а):

Сразу всем или любому из них?

Такая запись по умолчанию означает именно "сразу всем"

[Xaositect]

umarus в сообщении #1307349 писал(а):

Xaositect
Перевод задачи. Один из нижеследующих является подпространством: 1...... 2...... 3...... 4 $x=z$ и $x=-z$. Спрашивается какой? В решении 4й.

Давайте оригинал полностью, без пропусков.

[umarus]

DeBill
Спасибо большое, еще раз убеждаюсь что материалы университета Кейп Тауна ужасного качества. А он же в 200ке лучших ВУЗов.
2 Теперь понятно, наверное хотели показать какие системы уравнений являются подпространствами.

[Someone]

umarus в сообщении #1307409 писал(а):

Кейп Тауна

Название города "Кейптаун" по-русски пишется одним словом.

umarus в сообщении #1307409 писал(а):

системы уравнений являются подпространствами

Системы уравнений не являются подпространствами. Подпространствами могут быть подмножества линейных пространств, задаваемые системами уравнений.

[umarus]

Someone
Благодарю за корректировки. У меня нет русской клавиатуры, пользуюсь мышью.

-- Чт апр 26, 2018 01:02:36 --

Xaositect в сообщении #1307397 писал(а):

umarus в сообщении #1307349 писал(а):

Xaositect
Перевод задачи. Один из нижеследующих является подпространством: 1...... 2...... 3...... 4 $x=z$ и $x=-z$. Спрашивается какой? В решении 4й.

Давайте оригинал полностью, без пропусков.

One of the following is a subspace of $R^3$. Which one? If it is a subspace prove it, or if not give a precise reason why.
$\[\begin{array}{l} 1.\,\,x + 2y - 3z = 4\\ 2.\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{4}\\ 3.\,\,x + y + z = 0\,\,and\,\,x - y + z = 1\\ 4.\,\,x = - z\,\,and\,\,x = z\\ 5.\,\,{x^2} + {y^2} = z\\ 6.\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y - 3}}{5} \end{array}\]$

[provincialka]

(4) I think, it means, that for vectors $(x,y,z)$ both conditions are true. So it is $y$-axis.
Do you understand, why all other examples are not subspaces?

[alcoholist]

umarus в сообщении #1307430 писал(а):

if not give a precise reason why

простой резон: одна из аксиом не выполнена