2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление без компьютера
Сообщение05.03.2006, 11:50 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть последовательность $a_n$ определена рекурентным соотношением:
$a_{n+1}=a_n+\frac {1}{a_n^2},a_0=1$. С какой точностью можете вычислить
$a_{9000000000}$?
Думаю, вряд ли на компьютере можно вычислить точнее и быстрее, чем в уме.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2006, 16:12 
Аватара пользователя


21/10/05
100
Одинцово
Как показал известный исследователь человеческого мышления А.Н. Леонтьев, в уме подобные задачи решают пациенты психиатрических клиник (помните пример, как такой пациент в уме решал задачу с канатом протянутом по экватору Земли и тем самым вычислял с большой точность известное число).
Еще тыши лет назад китайцы изобрели четыре предмета для решения всех математических задач - бумагу, кисточку, тушь и тушеницу :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 21:48 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Такие последовательности легко вычисляютя. Можно рассмотреть это как решение простого уравнения с квантовой производной и аппроксимировать с решением с обычной производной. Проще вводим новуые переменные: $b_n=a_n^3, c_n=b_n-3n.$ Это приводит (возводя в куб) к следующим рекурентным соотношениям:
$b_{n+1}=b_n+3+\frac {3}{b_n}+\frac {1}{b_n^2},c_{n+1}=c_n+\frac{3}{3n+c_n}+\frac{1}{(3n+c_n)^2}$ Отсюда получается, что начиная с n>1 выполняется:
$0<c_n<ln(n)+5$. На самом деле разница с(n)-ln(n) стремится к некоторой константе между 4 и 5. Отсюда получается приближённая формула для исходной величины:
$(3n)^{1/3}<a_n<(3n)^{1/3}+\frac{c_n}{3(3n)^{2/3}}$. Для нашего случая поправка становится меньше одной миллионной, т.е.
$3000<a_{9000000000}<3000.000001.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2006, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Что лично меня удивляет, так это относительно малая потеря точности при вычислениях на компьютере. До 9000000000 я не считал, остановился на 9000000, и все равно -- очень неплохое приближение. Я ожидал куда большей ошибки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group