Вычисление без компьютера

[Руст]

Пусть последовательность $a_n$ определена рекурентным соотношением:
$a_{n+1}=a_n+\frac {1}{a_n^2},a_0=1$. С какой точностью можете вычислить
$a_{9000000000}$?
Думаю, вряд ли на компьютере можно вычислить точнее и быстрее, чем в уме.

[sexstant]

Как показал известный исследователь человеческого мышления А.Н. Леонтьев, в уме подобные задачи решают пациенты психиатрических клиник (помните пример, как такой пациент в уме решал задачу с канатом протянутом по экватору Земли и тем самым вычислял с большой точность известное число).
Еще тыши лет назад китайцы изобрели четыре предмета для решения всех математических задач - бумагу, кисточку, тушь и тушеницу

[Руст]

Такие последовательности легко вычисляютя. Можно рассмотреть это как решение простого уравнения с квантовой производной и аппроксимировать с решением с обычной производной. Проще вводим новуые переменные: $b_n=a_n^3, c_n=b_n-3n.$ Это приводит (возводя в куб) к следующим рекурентным соотношениям:
$b_{n+1}=b_n+3+\frac {3}{b_n}+\frac {1}{b_n^2},c_{n+1}=c_n+\frac{3}{3n+c_n}+\frac{1}{(3n+c_n)^2}$ Отсюда получается, что начиная с n>1 выполняется:
$0<c_n<ln(n)+5$. На самом деле разница с(n)-ln(n) стремится к некоторой константе между 4 и 5. Отсюда получается приближённая формула для исходной величины:
$(3n)^{1/3}<a_n<(3n)^{1/3}+\frac{c_n}{3(3n)^{2/3}}$. Для нашего случая поправка становится меньше одной миллионной, т.е.
$3000<a_{9000000000}<3000.000001.$

[незваный гость]

Что лично меня удивляет, так это относительно малая потеря точности при вычислениях на компьютере. До 9000000000 я не считал, остановился на 9000000, и все равно -- очень неплохое приближение. Я ожидал куда большей ошибки.