2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение19.04.2018, 18:43 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Решаю задачу 30 отсюда. Для решения задачи я составил следующие уравнения:
Записал уравнение Менделеева для начального и конечного состояний:
$$\[\begin{gathered}
  pV = \frac{m}{\mu }RT \hfill \\
  (p + k\Delta T){V_1} = \frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) \hfill \\ 
\end{gathered} \]$$
где $V_1$ - конечный объем, а $\Delta m$ -искомое изменение массы пара.
Далее надо обыграть факт адиабатического сжатия. Это можно записать как равенство абсолютных значений работы над газом, изменения внутренней энергии и энергии парообразования:
$$\[A = \Delta U + L\Delta m\ $$
Изменение внутренней энергии есть разность конечной и начальной энергий:
$$\[\Delta U = 3R\frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) - 3R\frac{m}{\mu }RT\]$$
Проблемы возникли с нахождением работы при адиабатическом сжатии. Закон Менделеева- Клапейрона тут не поможет, так как ни давление, ни объем, ни температура не являются постоянными. Постоянно только количество вещества - пар, до того, как начнет конденсироваться.

-- 19.04.2018, 18:49 --

Rusit8800 в сообщении #1305619 писал(а):
$$\[A = \Delta U + L\Delta m\] $$

Я тут засомневался в этой формуле, а также в ее альтернативе. Ведь адиабатический процесс здесь, по идее, применим к пару только тогда, когда кол-во его постоянно - он не конденсируется и является идеальным газом, а энергия парообразования здесь ни при чем, так как это уже относится к водяному пару не как к идеальному пару, а как более сложному газу, который может конденсироваться. Тогда надо было бы записать
$$\[A = \Delta U $$
Но тут два но:
1) Если убрать $ L\Delta m $, то $L$, просто нигде больше не упоминается, так как все уравнения к задаче уже записаны, но значение $L$ дано, и должно быть использовано.
2) Если убрать $ L\Delta m $, то не понятно, откуда берется энергия на парообразование, если не из работы над газом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение20.04.2018, 02:00 


19/04/18
28
Цитата:
Ведь адиабатический процесс здесь, по идее, применим к пару только тогда, когда кол-во его постоянно - он не конденсируется и является идеальным газом, а энергия парообразования здесь ни при чем, так как это уже относится к водяному пару не как к идеальному пару, а как более сложному газу, который может конденсироваться. Тогда надо было бы записать

Это неверно: адиабатический процесс - процесс без отвода тепла - может быть проведен над любым газом.
"Энергия парообразования" - вполне внутренняя, поэтому она должна войти в твое первое начало термодинамики.
В этой задаче подразумевается, что ты умеешь записать уравнение Менделеева-Клапейрона в приращениях. Если ты не умеешь, то могу объяснить, в чем суть этой процедуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение20.04.2018, 15:50 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Goroshek в сообщении #1305754 писал(а):
что ты умеешь записать уравнение Менделеева-Клапейрона в приращениях

В смысле записать в дифференциальной форме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение20.04.2018, 17:58 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Нашел в инете формулу работы при адиабате $$\[A=\frac{p_1V_1}{\gamma -1}\left(1-\frac{{V_1}^{\gamma -1}}{{V_2}^{\gamma -1}}\right) $$

-- 20.04.2018, 18:00 --

С учетом этого третье уравнение получается таким:
$$\[\frac{{{p_1}V}}{{\gamma  - 1}}\left( {1 - \frac{{{V^{\gamma  - 1}}}}{{{V_1}^{\gamma  - 1}}}} \right) = 3R\frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) - 3R\frac{m}{\mu }RT + L\Delta m\]$$
Все ли правильно? Слишком громоздко выглядит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение20.04.2018, 18:58 


19/04/18
28
Ты усложняешь задачу :) Формула тут, в действительности, одна, и ты ее написал выше: первое начало термодинамики при адиабате.
В этой формуле есть левая и правая части. Левая - работа $A=P \Delta V$ газа. Тебе надо посчитать эту штуку, но никакого $\Delta V$ тебе не давали. Значит, надо перейти к другим переменным; для этого надо воспользоваться уравнением состояния. Как бы ты записал $P \Delta V$ в других переменных, используя уравнение состояния?
Цитата:
в дифференциальной форме?
- да, можно и так сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 08:46 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Rusit8800
Еще неплохо бы вспомнить первое начало термодинамики и тот факт, что на адиабате переданное тепло равно нулю, после чего работа просто выражается без всяких там "нашел в инете".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 13:30 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Так что-ли?
$$\[A = P\Delta V = \frac{m}{\mu }R\Delta T\]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 14:18 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Rusit8800
А про адиабату Пуассона вы слышали?
Rusit8800 в сообщении #1306109 писал(а):
Так что-ли?
$$\[A = P\Delta V = \frac{m}{\mu }R\Delta T\]$$

Это, к слову, неверно для адиабатического процесса. Для какого процесса это верно, кстати?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 17:00 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Rusit8800 в сообщении #1306109 писал(а):
Так что-ли?

Разумеется, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 18:05 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Gickle в сообщении #1306116 писал(а):
А про адиабату Пуассона вы слышали?

Нет.
Gickle в сообщении #1306116 писал(а):
Для какого процесса это верно, кстати?

Это верно для изобарического процесса, но просто Goroshek так написал, а я, не думая, продолжил.

-- 21.04.2018, 18:07 --

Я слышал еще об этом уравнении
$$pV^{\gamma} = const$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 20:28 


19/04/18
28
Rusit8800 в сообщении #1306109 писал(а):
Так что-ли?
$$\[A = P\Delta V = \frac{m}{\mu }R\Delta T\]$$

Почти так.
Действительно, уравнение идеального газа $PV = \nu RT$. Действительно, работа в любом процессе малого изменения объема $A = P \Delta V$. Значит, необходимо продифференцировать уравнение состояние идеального газа (записать в приращениях), и станет возможным отыскать работу.
Но у Вас неточности: при записи уравнения состояния в приращениях Вы забыли, что в левой части у тебя должно быть учтено еще и приращение давления, а в правой части должно быть учтено еще и приращение массы. Уравнение, в которым будет учтены все эти факторы - верное уравнение для расчета работы в данном процессе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 20:54 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Goroshek в сообщении #1306217 писал(а):
а в правой части должно быть учтено еще и приращение массы

Стоп, так ведь адиабатическое сжатие быстрое и сразу после него пар не успевает сконденсироваться и масса не меняется, а меняется только потом, после того как само сжатие уже было произведено. Тогда вывод формулы работы будет как здесь. Берем оттуда формулу и запишем для нашего случая:
$$\[A = \frac{i}{2}\nu R{T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma  - 1}}} \right) = {C_V}\nu {T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma  - 1}}} \right)\]
$$
Тогда получим систему

$$\[\begin{gathered}
  {C_V}\nu {T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma  - 1}}} \right) = 3R\frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) - 3R\frac{m}{\mu }RT + L\Delta m \hfill \\
  pV = \frac{m}{\mu }RT \hfill \\
  (p + k\Delta T){V_1} = \frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) \hfill \\ 
\end{gathered} \]$$
В ней три уравнения и три неизвестных $\Delta m, V_1,p$. По идее все должно решиться. Неужели здесь что-то неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 21:11 


19/04/18
28
Попробуйте посчитать систему, если желаете. Выглядит, если честно, очень плохо, неизвестный значок $V_1$ в рациональной степени вряд ли сделает верное решение.
Естественное решение возникает именно при расчете работы по алгоритму, который я описал: в этом решении будет только одна неизвестная - искомое изменение массы пара.
Rusit8800 в сообщении #1306225 писал(а):
Goroshek в сообщении #1306217 писал(а):
а в правой части должно быть учтено еще и приращение массы

Стоп, так ведь адиабатическое сжатие быстрое и сразу после него пар не успевает сконденсироваться и масса не меняется, а меняется только потом, после того как само сжатие уже было произведено. Тогда вывод формулы работы будет как здесь. Берем оттуда формулу и запишем для нашего случая:
$$\[A = \frac{i}{2}\nu R{T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma  - 1}}} \right) = {C_V}\nu {T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma  - 1}}} \right)\]
$$
Тогда получим систему

$$\[\begin{gathered}
  {C_V}\nu {T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma  - 1}}} \right) = 3R\frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) - 3R\frac{m}{\mu }RT + L\Delta m \hfill \\
  pV = \frac{m}{\mu }RT \hfill \\
  (p + k\Delta T){V_1} = \frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) \hfill \\ 
\end{gathered} \]$$
В ней три уравнения и три неизвестных $\Delta m, V_1,p$. По идее все должно решиться. Неужели здесь что-то неверно?

Если даже Вы так не хотите придерживаться моего "однострочного" решения, то попробуйте вглядеться в свои два последовательно записанных уравнения состояния. Есть ли в них информация о работе, совершаемой газом? (то есть комбинация $P \Delta V)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 21:54 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Goroshek в сообщении #1306232 писал(а):
Если даже Вы так не хотите придерживаться моего "однострочного" решения

Я не понимаю вашего "однострочного" решения. По сути правая часть у меня вычислена. Осталась левая часть с работой при адиабате. Я не знаю выражения для работы при адиабате, проще чем у меня.Да, там рациональная степень, но что поделаешь, по другому не выразить. По сути вывод формулы на сайте использует "приращения", только бесконечно малые. Если у вас и есть простое решение, то оно как-то обходит вычисление работы при адиабате, но я не понимаю, в чем оно заключается, так как при использовании "приращений" мой вывод совпадает с выводом на приведенном сайте и у меня получается формула работы при адиабате.

-- 21.04.2018, 21:55 --

Кстати, ваш ответ совпадает с ответом автора(задача 30)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс
Сообщение21.04.2018, 22:37 


19/04/18
28
Да, само собой, мой ответ совпадает с ответом автора.
Скорее всего, у Вас мало опыта работы с уравнением идеального газа в приращениях. Советую внимательно прочитать то, что я для Вас написал, попробовать провести эти вычисления и если не получится, задать вопросы, где именно непонятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group