Вычисление работы газа при адиабате,финал Всеросса, 10 класс

[Rusit8800]

Решаю задачу 30 отсюда. Для решения задачи я составил следующие уравнения:
Записал уравнение Менделеева для начального и конечного состояний:

$$\[\begin{gathered} pV = \frac{m}{\mu }RT \hfill \\ (p + k\Delta T){V_1} = \frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

где $V_1$ - конечный объем, а $\Delta m$ -искомое изменение массы пара.
Далее надо обыграть факт адиабатического сжатия. Это можно записать как равенство абсолютных значений работы над газом, изменения внутренней энергии и энергии парообразования:

$$\[A = \Delta U + L\Delta m\ $$

Изменение внутренней энергии есть разность конечной и начальной энергий:

$$\[\Delta U = 3R\frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) - 3R\frac{m}{\mu }RT\]$$

Проблемы возникли с нахождением работы при адиабатическом сжатии. Закон Менделеева- Клапейрона тут не поможет, так как ни давление, ни объем, ни температура не являются постоянными. Постоянно только количество вещества - пар, до того, как начнет конденсироваться.

-- 19.04.2018, 18:49 --

Rusit8800 в сообщении #1305619 писал(а):

$$\[A = \Delta U + L\Delta m\] $$

Я тут засомневался в этой формуле, а также в ее альтернативе. Ведь адиабатический процесс здесь, по идее, применим к пару только тогда, когда кол-во его постоянно - он не конденсируется и является идеальным газом, а энергия парообразования здесь ни при чем, так как это уже относится к водяному пару не как к идеальному пару, а как более сложному газу, который может конденсироваться. Тогда надо было бы записать

$$\[A = \Delta U $$

Но тут два но:
1) Если убрать $ L\Delta m $, то $L$, просто нигде больше не упоминается, так как все уравнения к задаче уже записаны, но значение $L$ дано, и должно быть использовано.
2) Если убрать $ L\Delta m $, то не понятно, откуда берется энергия на парообразование, если не из работы над газом.

[Goroshek]

Цитата:

Ведь адиабатический процесс здесь, по идее, применим к пару только тогда, когда кол-во его постоянно - он не конденсируется и является идеальным газом, а энергия парообразования здесь ни при чем, так как это уже относится к водяному пару не как к идеальному пару, а как более сложному газу, который может конденсироваться. Тогда надо было бы записать

Это неверно: адиабатический процесс - процесс без отвода тепла - может быть проведен над любым газом.
"Энергия парообразования" - вполне внутренняя, поэтому она должна войти в твое первое начало термодинамики.
В этой задаче подразумевается, что ты умеешь записать уравнение Менделеева-Клапейрона в приращениях. Если ты не умеешь, то могу объяснить, в чем суть этой процедуры.

[Rusit8800]

Goroshek в сообщении #1305754 писал(а):

что ты умеешь записать уравнение Менделеева-Клапейрона в приращениях

В смысле записать в дифференциальной форме?

[Rusit8800]

Нашел в инете формулу работы при адиабате

$$\[A=\frac{p_1V_1}{\gamma -1}\left(1-\frac{{V_1}^{\gamma -1}}{{V_2}^{\gamma -1}}\right) $$

-- 20.04.2018, 18:00 --

С учетом этого третье уравнение получается таким:

$$\[\frac{{{p_1}V}}{{\gamma - 1}}\left( {1 - \frac{{{V^{\gamma - 1}}}}{{{V_1}^{\gamma - 1}}}} \right) = 3R\frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) - 3R\frac{m}{\mu }RT + L\Delta m\]$$

Все ли правильно? Слишком громоздко выглядит.

[Goroshek]

Ты усложняешь задачу :) Формула тут, в действительности, одна, и ты ее написал выше: первое начало термодинамики при адиабате.
В этой формуле есть левая и правая части. Левая - работа $A=P \Delta V$ газа. Тебе надо посчитать эту штуку, но никакого $\Delta V$ тебе не давали. Значит, надо перейти к другим переменным; для этого надо воспользоваться уравнением состояния. Как бы ты записал $P \Delta V$ в других переменных, используя уравнение состояния?

Цитата:

в дифференциальной форме?

- да, можно и так сказать.

[DimaM]

Rusit8800
Еще неплохо бы вспомнить первое начало термодинамики и тот факт, что на адиабате переданное тепло равно нулю, после чего работа просто выражается без всяких там "нашел в инете".

[Rusit8800]

Так что-ли?

$$\[A = P\Delta V = \frac{m}{\mu }R\Delta T\]$$

[Gickle]

Rusit8800
А про адиабату Пуассона вы слышали?

Rusit8800 в сообщении #1306109 писал(а):

Так что-ли?

$$\[A = P\Delta V = \frac{m}{\mu }R\Delta T\]$$

Это, к слову, неверно для адиабатического процесса. Для какого процесса это верно, кстати?

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1306109 писал(а):

Так что-ли?

Разумеется, нет.

[Rusit8800]

Gickle в сообщении #1306116 писал(а):

А про адиабату Пуассона вы слышали?

Нет.

Gickle в сообщении #1306116 писал(а):

Для какого процесса это верно, кстати?

Это верно для изобарического процесса, но просто Goroshek так написал, а я, не думая, продолжил.

-- 21.04.2018, 18:07 --

Я слышал еще об этом уравнении

$$pV^{\gamma} = const$$

[Goroshek]

Rusit8800 в сообщении #1306109 писал(а):

Так что-ли?

$$\[A = P\Delta V = \frac{m}{\mu }R\Delta T\]$$

Почти так.
Действительно, уравнение идеального газа $PV = \nu RT$. Действительно, работа в любом процессе малого изменения объема $A = P \Delta V$. Значит, необходимо продифференцировать уравнение состояние идеального газа (записать в приращениях), и станет возможным отыскать работу.
Но у Вас неточности: при записи уравнения состояния в приращениях Вы забыли, что в левой части у тебя должно быть учтено еще и приращение давления, а в правой части должно быть учтено еще и приращение массы. Уравнение, в которым будет учтены все эти факторы - верное уравнение для расчета работы в данном процессе.

[Rusit8800]

Goroshek в сообщении #1306217 писал(а):

а в правой части должно быть учтено еще и приращение массы

Стоп, так ведь адиабатическое сжатие быстрое и сразу после него пар не успевает сконденсироваться и масса не меняется, а меняется только потом, после того как само сжатие уже было произведено. Тогда вывод формулы работы будет как здесь. Берем оттуда формулу и запишем для нашего случая:

$$\[A = \frac{i}{2}\nu R{T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma - 1}}} \right) = {C_V}\nu {T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma - 1}}} \right)\] $$

Тогда получим систему

$$\[\begin{gathered} {C_V}\nu {T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma - 1}}} \right) = 3R\frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) - 3R\frac{m}{\mu }RT + L\Delta m \hfill \\ pV = \frac{m}{\mu }RT \hfill \\ (p + k\Delta T){V_1} = \frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

В ней три уравнения и три неизвестных $\Delta m, V_1,p$. По идее все должно решиться. Неужели здесь что-то неверно?

[Goroshek]

Попробуйте посчитать систему, если желаете. Выглядит, если честно, очень плохо, неизвестный значок $V_1$ в рациональной степени вряд ли сделает верное решение.
Естественное решение возникает именно при расчете работы по алгоритму, который я описал: в этом решении будет только одна неизвестная - искомое изменение массы пара.

Rusit8800 в сообщении #1306225 писал(а):

Goroshek в сообщении #1306217 писал(а):

а в правой части должно быть учтено еще и приращение массы

Стоп, так ведь адиабатическое сжатие быстрое и сразу после него пар не успевает сконденсироваться и масса не меняется, а меняется только потом, после того как само сжатие уже было произведено. Тогда вывод формулы работы будет как здесь. Берем оттуда формулу и запишем для нашего случая:

$$\[A = \frac{i}{2}\nu R{T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma - 1}}} \right) = {C_V}\nu {T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma - 1}}} \right)\] $$

Тогда получим систему

$$\[\begin{gathered} {C_V}\nu {T}\left( {1 - {{\left( {\frac{V}{{{V_1}}}} \right)}^{\gamma - 1}}} \right) = 3R\frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) - 3R\frac{m}{\mu }RT + L\Delta m \hfill \\ pV = \frac{m}{\mu }RT \hfill \\ (p + k\Delta T){V_1} = \frac{{m - \Delta m}}{\mu }R(T + \Delta T) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

В ней три уравнения и три неизвестных $\Delta m, V_1,p$. По идее все должно решиться. Неужели здесь что-то неверно?

Если даже Вы так не хотите придерживаться моего "однострочного" решения, то попробуйте вглядеться в свои два последовательно записанных уравнения состояния. Есть ли в них информация о работе, совершаемой газом? (то есть комбинация $P \Delta V)

[Rusit8800]

Goroshek в сообщении #1306232 писал(а):

Если даже Вы так не хотите придерживаться моего "однострочного" решения

Я не понимаю вашего "однострочного" решения. По сути правая часть у меня вычислена. Осталась левая часть с работой при адиабате. Я не знаю выражения для работы при адиабате, проще чем у меня.Да, там рациональная степень, но что поделаешь, по другому не выразить. По сути вывод формулы на сайте использует "приращения", только бесконечно малые. Если у вас и есть простое решение, то оно как-то обходит вычисление работы при адиабате, но я не понимаю, в чем оно заключается, так как при использовании "приращений" мой вывод совпадает с выводом на приведенном сайте и у меня получается формула работы при адиабате.

-- 21.04.2018, 21:55 --

Кстати, ваш ответ совпадает с ответом автора(задача 30)?

[Goroshek]

Да, само собой, мой ответ совпадает с ответом автора.
Скорее всего, у Вас мало опыта работы с уравнением идеального газа в приращениях. Советую внимательно прочитать то, что я для Вас написал, попробовать провести эти вычисления и если не получится, задать вопросы, где именно непонятно.