2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение19.04.2018, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5553
Если что, то по микроскопическому выводу уравнения Больцмана довольно много математических работ, см., например, обзор здесь (1987 год)

https://link.springer.com/chapter/10.10 ... 1-2762-9_7

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение19.04.2018, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
02/09/19
70490
amon в сообщении #1305673 писал(а):
либо операция $\mathfrak{R}$ неоднозначна

Ну и пускай, не вижу в этом трагедии. Это всё же физика. Физики, рисуя свои модели, оглядываются на адекватность эксперименту. Если нужна будет такая операция (адекватная, но неоднозначная), значит, нехай будет такая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение19.04.2018, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3804
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1305686 писал(а):
Ну и пускай, не вижу в этом трагедии.
Трагедии нет, но тогда его надо просто постулировать, как уравнение Шредингера, и не мучать детей его выводом. Однако ссылки g______d (спасибо, гляну на досуге, вообще-то я кинетикой не занимаюсь, так из любопытства туда заглядываю) показывают, что попытки вывести кинетику из первых принципов не прекращаются до сих пор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение19.04.2018, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
02/09/19
70490
amon в сообщении #1305688 писал(а):
Трагедии нет, но тогда его надо просто постулировать, как уравнение Шредингера, и не мучать детей его выводом.

Так и УШ надо выводить! Но выводить "физически", с должной долей handwaving-а. Дабы пущай приучаются к методам теорфизики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение19.04.2018, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3804
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1305696 писал(а):
выводить "физически", с должной долей handwaving-а.
Это обучательное. Там действительно надо объяснять как народ дошел до жизни такой. А есть еще "мировоззренческое". На микроуровне с чудовищной точностью все обратимо (СРТ, но если С с Р единицы, то во времени), и это проверено экспериментально. На меза (в смысле, к примеру, твердого тела, где квантовая механика по полной, но система большая) и макро уровне все с той же чудовищной степенью необратимо. Одно описывается, скажем, КЭД, а второе - Больцманом с хорошей точностью. Но как от КЭД корректно перейти к Больцману не вытащив по дороге из рукова трение и не подкинув его тайком в завариваемую кашу, по-моему, никто до сих пор не знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение19.04.2018, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
02/09/19
70490
amon в сообщении #1305704 писал(а):
А есть еще "мировоззренческое".

А, ну тут уж рецептов нет, и разные люди решают это по-разному. Кто-то пытается натянуть  сову на глобус  реальность на математику. Кто-то - наоборот, предпочитает дорабатывать математику напильником, пока она не примет желаемую форму. Кто-то - выбивает золотыми буквами девиз "Заткнись и считай!", и следует ему всю карьеру.

amon в сообщении #1305704 писал(а):
Но как от КЭД корректно перейти к Больцману

Примерно в том же районе где-то проблема измерения КМ порылась...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение20.04.2018, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5553
amon в сообщении #1305688 писал(а):
Однако ссылки g______d (спасибо, гляну на досуге, вообще-то я кинетикой не занимаюсь, так из любопытства туда заглядываю) показывают, что попытки вывести кинетику из первых принципов не прекращаются до сих пор.


Мне кажется, что строго вывести вообще что-то из первых принципов очень сложно, мне не очевидно, что это особенность именно уравнения Больцмана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение20.04.2018, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5638
Вот я беру уравнение, которое переходит в себя при замене $t \to t_0 - t$, $t_0 = \operatorname{const}$:
$$\frac {d^2 x} {dt^2} = 1$$.
Интегрирую:
$$x = x_0 + v_0 t + t^2 / 2$$
Накладываю условие $x(0) = 0$, получаю
$$x = v_0 t + t^2 / 2$$.
Делю на $t$, нахожу производную, получаю:
$$\frac {d(x/t)} {dt} = 1/2$$.
Это уравнение больше не переходит в себя при замене $t \to t_0 - t$, $t_0 = \operatorname{const}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение20.04.2018, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
02/09/19
70490
warlock66613 в сообщении #1305718 писал(а):
Делю на $t$

Ну так низя, в этом месте теряется T-симметричность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение20.04.2018, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5638
Тогда так. Вот уравнение, симметричное относительно замены $t \to -t$:
$$\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| d^2x / dt^2 = 1.$$
Положим $\frac {dx} {dt} |_{t=0} > 0$, тогда $\frac {dx} {dt} > 0$ и $\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| = \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt})$ (при $t > 0$, но $t = 0$ — это Большой Взрыв, так что меньшие значения нас не интересуют), а значит
$$\operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) d^2x / dt^2 = 1.$$
Это уравнение больше не симметрично относительно замены $t \to -t$. (И — это важно — симметрично относительно временных сдвигов, так что $t$ в нём — это не обязательно время от Большого Взрыва). Аргумент Пуанкаре не работает.

-- 20.04.2018, 01:54 --

И кстати, этот мой пример весьма похож на ситуацию с уравнением Больцмана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение20.04.2018, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3804
ФТИ им. Иоффе СПб
warlock66613 в сообщении #1305726 писал(а):
Это уравнение больше не симметрично относительно замены $t \to -t$.
Конечно, ведь мы сначала объявили, что решаем его при $t>0,$ а потом объявили, что будем решать вместо уравнения$$\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| d^2x / dt^2 = 1.$$уравнение
$$\operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) d^2x / dt^2 = 1.$$которое неинвариантно относительно отражения времени, причем на всей оси.
warlock66613 в сообщении #1305726 писал(а):
И кстати, этот мой пример весьма похож на ситуацию с уравнением Больцмана.
Чистая правда, при выводе уравнения Больцмана подменяют исходные уравнения чем-то Т-неинвариантным, причем делают это изощреннее чем Вы ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение20.04.2018, 02:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5638
amon в сообщении #1305756 писал(а):
подменяют
"Подменяют" или нет, но аргумент Пуанкаре не работает: из симметричного уравнения можно последовательными манипуляциями получить несимметричное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение20.04.2018, 02:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3804
ФТИ им. Иоффе СПб
warlock66613 в сообщении #1305757 писал(а):
из симметричного уравнения можно последовательными манипуляциями получить несимметричное.
Последовательными манипуляциями - можно. Последовательными математически корректными - нельзя. То, что Вы проделали удивительно похоже на то, что делал Больцман. Если Вашу цепочку действий записать математически, то получится бред:
$$\begin{align}
|\operatorname{sign}(x)|F(x)&=F(x)\\
\text{при}\;x>0\;\operatorname{sign}(x)F(x)&=F(x)\\
\text{тогда}\;\operatorname{sign}(x)F(x)&=F(x)
\end{align}$$Что бы "замаскировать" бредовость перехода от второй строки к третьей Вам пришлось прибегать к математически неформализуемым рассуждениям о большом взрыве. Но эти рассуждения не отменяют того, что вторая строка верна только при $x>0,$ и тогда либо $x>0$ и отражения запрещены (исходные уравнения содержат "стрелу времени") либо отражения разрешены и рассуждения неверны. Т.е. "альтернатива Пуанкаре" имеет место.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение20.04.2018, 02:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5638
Ну, пока я думаю над тем, как улучшить простой контрпример к утверждению Пуанкаре, предлагаю обратиться к собственно выводу уравнения Больцмана из первых принципов. Вот он.

-- 20.04.2018, 03:50 --

Список литературы

[1] H. Zeh, The Physical basis of the direction of time. 5th edition, 2007.
[2] К. Хуанг, Статистическая механика. Москва, 1966.

Система

Я хочу вкратце рассказать о том, как из обратимых уравнений динамики можно вывести необратимые уравнения, такие как уравнение классической кинетической теории — уравнение Больцмана. Сам способ, о котором я буду рассказывать, и который изложен в книге-обзоре [1], является очень общим — в принципе любое необратимое кинетическое уравнение, классическое или квантовое, выводится этим способом, но я буду излагать его именно в применении к уравнению Больцмана.

Мы будем рассматривать разреженный газ, состоящей из $N$ взаимодействующих частиц («молекул»). Каждая такая частица имеет свой уникальный индекс $n$, положение $\mathbf q_n$ и импульс $\mathbf p_n$. Все молекулы имеют одинаковую массу, которую мы примем за единицу.

Следуя традициям, шестимерное фазовое пространство молекулы будем называть $\mu$-пространством, а $6N$-мерное фазовое пространство системы — $\Gamma$-пространством. Положение системы (то есть совокупность $N$ векторов $\mathbf q_n$ или $3N$ отдельных координат $q_i$) будем обозначать просто $q$, а её импульс (совокупность всех $\mathbf p_n$ или всех $p_i$), соответственно, $p$.

Важно подчеркнуть, что нигде далее не используется понятие квазизамкнутой системы, не предполагается существование квантовой механики, а также не вводится понятие наблюдателя и связанное с ним понятие информации. И, конечно, гамильтониан и состояние системы не считаются неточными/приближёнными.

-- 20.04.2018, 03:51 --

Динамика ансамблей

По причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам потребуется формализм, позволяющий описывать эволюцию не просто одиночной системы, а ансамбля (замкнутых) систем — то есть воображаемой совокупности множества одинаковых (с одним и тем же гамильтонианом) систем, но имеющих разные начальные состояния (разные траектории).

Состояние ансамбля описывается распределением в $\Gamma$-пространстве $\rho(q, p)$. В частности, ансамблю из одной системы, имеющей положение $\xi$ и импульс $\eta$ соответствует дельта-образное распределение$$\rho_{\text{phys}}(q, p) = \delta^{(3N)}(q - \xi) \delta^{(3N)}(p - \eta).
$$Ансамбли хороши тем, что (так же, как и для одиночной системы) существует замкнутое уравнение, описывающее их эволюцию — уравнение Лиувилля$$
\frac {\partial \rho} {\partial t} = \{ H, \rho \} =: -i \hat L \rho,
$$где $\{\cdot,\cdot\}$ — скобка Пуанкаре:$$
\{a, b\} = \sum_{i=1}^{3N} \left( \frac {\partial a} {\partial q_i} \frac {\partial b} {\partial p_i} - \frac {\partial a} {\partial p_i} \frac {\partial b} {\partial q_i} \right)
$$
Введя понятие ансамбля, можно (следуя Гиббсу) ввести соответствующее понятие энтропии ансамбля$$
S_{\Gamma}[\rho] = -\int \rho(q, p) \ln {\rho(q, p)}\,dq\,dp.
$$Однако, при всей своей полезности, энтропия ансамбля не может быть физической энтропией. Во-первых, для реальной системы энтропия экстремальна: $S_{\Gamma}[\rho_{\text{phys}}] = -\infty$. Во-вторых, при эволюции, по теореме Лиувилля, эта энтропия остаётся постоянной.

-- 20.04.2018, 03:51 --

Оператор Цванцига

С фундаментальной точки зрения, статистическая физика — это способ описания и исследования поведения физических систем, основанный на введении так называемой концепции релевантности. Математически концепция релевантности описывается некоторым оператором $\hat P$, действующим на пространстве распределений в $\Gamma$-пространстве. Этот оператор называется оператором Цванцига и, по определению, обладает следующими свойствами:
  1. идемпотентностью $\hat P \hat P=\hat P$,
  2. «уничтожением информации» $S_\Gamma [\hat P \rho] \geqslant S_\Gamma [\rho]$,
  3. сохранением вероятности $\int (\hat P \rho)\,dq\,dp = \int \rho \,dq\,dp$.
Часто также предполагается линейность, но «больцмановский» оператор Цванцига (см. далее) не линеен.

Оператор Цванцига разделяет информацию о состоянии системы (или ансамбля) $\rho(q, p)$ на две части — релевантную
$$
\rho_\text{rel} = \hat P \rho
$$и иррелевантную$$
\rho_\text{irrel} = (1 - \hat P) \rho.
$$
Имея концепцию релевантности в виде оператора Цванцига, мы можем определить физическую энтропию как $S_\Gamma[\rho_\text{rel}] = S_\Gamma[\hat P \rho]$ и строить статистическую физику. Справедливо и обратное: если при рассмотрении какой-то физической задачи возникли статфизические (термодинамическое) понятия и величины — энтропия, температура и т. д., значит подразумевается некоторая определённая концепция релевантности. Это распространяется и на случаи, когда, вроде бы, никакой декларации определённой концепции релевантности не требуется и не производится — например, при вычислении энтропии чёрных дыр и изучении эффекта Унру.

Концепция релевантности, вообще говоря, объективно не мотивирована: исследователь вправе выбирать её по своему усмотрению. Благодаря этому, оператор Цванцига является адекватным формализмом для выражения некоторых метафизических идей, которые невозможно ввести в уравнения напрямую без потери консистентности модели.

Так, идея, что координаты и импульсы имеют некоторые погрешности, явным образом противоречит фреймворку классической механики, но приводит к следующему оператора Цванцига. Разобьём $\Gamma$-пространство на маленькие, но конечные области $\Delta V_m$. Определим линейный оператор Цванцига $\hat P_\text{cg}$, делающий распределение $\rho(q, p)$ «крупнозернистым» (carse-grained) следующим образом:
$$
\hat P_\text{cg} \rho(q,p) = \frac 1 {\Delta V_m} \int_{\Delta V_m} \rho(q', p')\,dq'\,dp' =: \frac {\Delta p_m} {\Delta V_m}, \quad q, p \in \Delta V_m.
$$
Или возьмём идею о «наблюдателе», который не знает точное состояние $\rho$, но знает одночастичную функцию распределения
$$
\rho_\mu (\mathbf q, \mathbf p) = \sum_{n=1}^N \int \rho(q, p) \delta^{(3)}(\mathbf q - \mathbf q_n) \delta^{(3)}(\mathbf p - \mathbf p_n)\,dq\,dp =: \hat {\mathcal P}_\mu \rho(q, p).
$$Эту идею также довольно проблематично использовать в буквальном смысле, даже когда такой наблюдатель реально присутствует — ведь в таком случае он активно взаимодействует с системой, так что её нельзя считать замкнутой. Но ничто не мешает определить соответствующий оператор Цванцига $\hat P_\mu$:
$$
\hat P_\mu \rho(q, p) = \prod_{n=1}^N \frac {\rho_\mu (\mathbf q_n, \mathbf p_n)} N =: \hat \Gamma \hat {\mathcal P}_\mu \rho(q, p).
$$Оператор $\hat P_\mu$ не линеен, но $\hat {\mathcal P}_\mu$ линеен, а это почти так же хорошо.

С помощью оператора Цванцига $\hat P_\text{Bolzman} = \hat P_\mu \hat P_\text{cg} =: \hat \Gamma \hat {\mathcal P}$ мы построим мост между обратимой гамильтоновой динамикой и уравнением Больцмана для одночастичной функции распределения $\rho_\mu = \hat {\mathcal P} \rho_\text{phys}$. Но сначала обратимся к тому выводу уравнения Больцмана, который обычно излагается в учебниках.

-- 20.04.2018, 03:51 --

Уравнение Больцмана

Наиболее «фундаментальным» способом вывода уравнения Больцмана является метод обрыва цепочки Боголюбова. Действительно, такой способ позволяет вывести не только кинетическое уравнение Больцмана, но и более точные кинетические уравнения. Однако, для нашей цели, для прослеживания возникновения стрелы времени, нет принципиальной разницы между этими методом и тем, который изложен ниже.

Предположим, что одночастичная функция распределения $\rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p; t)$ подчиняется уравнению вида
$$
\frac {\partial \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p)} {\partial t} = \hat{\mathcal L} \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p),\eqno{(0)}
$$где $\hat{\mathcal L}$ — некоторый оператор на $\mu$-пространстве. Как тогда будет выглядеть $\hat{\mathcal L}$? Это можно установить с помощью следующих эвристических рассуждений (техническая часть вывода взята из [2]).

Можно ожидать, что взаимодействие молекул адекватно описывается относительно простой моделью парных столкновений. В этой модели предполагается, что силы взаимодействия между молекулами короткодействующие, так что взаимодействие между молекулами, находящимися в разных элементах объёма $d^3q$ (которые образованы проектированием ячеек $\Gamma$-пространства $\Delta V_m$) отсутствует, а взаимодействие между молекулами в одном элементе объёма сводится к изменению скоростей сталкивающихся молекул.

Если столкновения между молекулами отсутствуют, то $\hat{\mathcal L} = - \mathbf p \frac {\partial} {\partial \mathbf q},$ а чтобы учесть столкновения, надо добавить количество столкновений $R$ (в единицу времени), в которых одна из молекул после столкновения находится вблизи точки $(\mathbf q, \mathbf p)$ и отнять количество столкновений $\bar R$, в которых одна из молекул находится вблизи этой точки до столкновения:
$$
\frac {\partial \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p)} {\partial t} = - \mathbf p \frac {\partial \rho_\mu} {\partial \mathbf q} + (\bar R - R).
$$Рассмотрим какую-нибудь молекулу в элементе объёма $d^3q$ вблизи $\mathbf q$, скорость которой лежит в пространстве импульсов в элементе $d^3 p$ вблизи $\mathbf p$. В том же самом пространственном объёме имеются молекулы с произвольными импульсами $\mathbf p'$, которые можно рассматривать как пучок частиц, падающих на молекулу, имеющую импульс $\mathbf p$. Плотность потока падающих молекул равна
$$
I = \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p') \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| d^3p'.
$$Число столкновений типа $(\mathbf p, \mathbf p') \to (\bar {\mathbf p}, \bar {\mathbf p}')$, происходящих в элементе объёма $d^3q$, равно
$$
I \sigma(\Omega) d\Omega = \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p') \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| \sigma(\Omega) d\Omega d^3p',
$$где $\sigma(\Omega)$~--- сечение рассеяния, $\Omega$~--- угол между $\mathbf p' - \mathbf p$ и $\bar {\mathbf p}' - \bar {\mathbf p}$. Тогда для $R$ получим следующее выражение:
$$
R = \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p) \int d\Omega \int d^3p' \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p') \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| \sigma(\Omega).
$$Аналогичные рассуждения приводят к выражению для $\bar R$:
$$
\bar R = \int d^3 \bar p' \int d\Omega \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}) \left| \bar {\mathbf p}' - \bar {\mathbf p} \right| \sigma(-\Omega) \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}').
$$Или, поскольку в соответствии с законами сохранения энергии и импульса $\left| \bar {\mathbf p}' - \bar {\mathbf p} \right| = \left| \mathbf p' - \mathbf p \right|$, $d^3 \bar p\,d^3 \bar p' = d^3p\,d^3p'$ и $\sigma(-\Omega) = \sigma(\Omega)$, то
$$
\bar R = \int d^3 p' \int d\Omega \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}) \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| \sigma(\Omega) \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}').
$$
Объединяя всё, получим кинетическое уравнение Больцмана:$$
\frac {\partial \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p)} {\partial t} = - \mathbf p \frac {\partial \rho_\mu} {\partial \mathbf q}
+ \int d\Omega \int d^3p' \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| \sigma(\Omega)
\left[ \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p) \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p') - \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}) \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}') \right]
.$$
Возникает вопрос: где же, на каком этапе в этом выводе появилась стрела времени? Есть только одно возможное место: предположение $(0)$ о существовании оператора $\hat {\mathcal L}$, определяющего замкнутую динамику одночастичной функции распределения. Как только сделано такое предположение, из законов движения молекул немедленно следует несимметричное относительно обращения времени выражение для $\hat {\mathcal L}$.

Следовательно, для выяснения деталей возникновения «стрелы времени», надо вывести $(0)$ из обратимой динамики системы.

-- 20.04.2018, 03:51 --

Предглавное уравнение

Итак, мы возвращаемся к уравнению Лиувилля, описывающему (обратимую) динамику системы:
$$
i\frac {\partial \rho} {\partial t} = \hat L \rho,\eqno{(L)}
$$где в интересующем нас случае
$$
\rho(q, p; t) = \rho_{\text{phys}}(q, p; t) = \delta^{(3N)}(q - \xi(t))\, \delta^{(3N)}(p - \eta(t)).
$$
Используя «больцмановский» оператор Цванцига $\hat P_\mu$, разобьём $\rho$ на две части — релевантную
$$
\rho_\text{rel} = \hat P_\mu \rho\eqno{(P1)}
$$и иррелевантную
$$
\rho_\text{irrel} = (1 - \hat P_\mu) \rho.\eqno{(P2)}$$
Из $(L)$ и $(P1)$, $(P2)$ получаем систему
$$
\begin{aligned}
i \frac {\partial \rho_\text{rel}} {\partial t} & = \hat P \hat L \rho_\text{rel} + \hat P \hat L \rho_\text{irrel}, \\
i \frac {\partial \rho_\text{irrel}} {\partial t} & = (1 - \hat P) \hat L \rho_\text{rel} + (1 - \hat P) \hat L \rho_\text{irrel}. \\
\end{aligned}
$$Второе из этих уравнений можно формально решить, что даёт
$$
\rho_\text{irrrel}(t) = e^{-i (1- \hat P) \hat L (t-t_0)} \rho_\text{irrel}(t_0) - i \int\limits_0^{t-t_0} e^{-i (1 - \hat P) \hat L \tau} (1- \hat P) \hat L \rho_\text{rel}(t - \tau)\,d \tau.
$$Подставляя это в первое уравнение и полагая $\hat P = \hat \Gamma \hat {\mathcal P}_\mu \hat P_\text{cg} =: \hat \Gamma \hat {\mathcal P}$, получим
$$
i \frac {\partial \rho_\text{rel}} {\partial t} = \hat \Gamma \hat {\mathcal P} \hat L \rho_\text{rel} + \hat \Gamma \hat I(t-t_0) \rho_\text{irrel}(t_0) - i \hat \Gamma \int\limits_0^{t-t_0} \hat G(\tau) \hat {\mathcal P} \rho_\text{rel}(t - \tau)\,d \tau,
$$где
$$
\hat G(\tau) = \hat {\mathcal P} \hat L e^{-i (1 - \hat \Gamma \hat {\mathcal P}) \hat L \tau} (1- \hat \Gamma \hat {\mathcal P}) \hat L \hat \Gamma
$$и
$$
\hat I(\tau) = \hat {\mathcal P} \hat L e^{-i (1- \hat \Gamma \hat {\mathcal P}) \hat L \tau}.
$$
Домножая слева на $\hat {\mathcal P}_\mu$ и определяя одночастичную функцию распределения как $\rho_\mu = \hat {\mathcal P} \rho$, получим так называемое предглавное уравнение
$$
i \frac {\partial \rho_\mu} {\partial t} = \hat {\mathcal P} \hat L \hat \Gamma \rho_\mu + \hat I(t-t_0) \rho_\text{irrel}(t_0) - i \int\limits_0^{t-t_0} \hat G(\tau) \rho_\mu(t - \tau)\,d \tau.\eqno{(PM)}
$$
Предглавное уравнение является точным, и потому не может описывать нарушенную временную симметрию, но оно является первым шагом на пути к главному уравнению (в нашем случае — уравнению Больцмана).

-- 20.04.2018, 03:51 --

Космологическое предположение

Чтобы избавиться от второго члена, необходимо сделать космологическое предположение
$$
\hat I(t-t_0) \rho_\text{irrel}(t_0) \approx 0, \quad 0 < t - t_0 \ll t_\text{Poincare},\eqno{(II)}
$$где $t_\text{Poincare}$ — время возвращения Пуанкаре.

В пользу допустимости такого предположения свидетельствует тот факт, что взяв в качестве ансамбля $N!$ одинаковых систем с переставленными частицами (такая перестановка не отражается на одночастичной функции распределения) и перейдя к термодинамическому пределу $N \to \infty$, мы получим в качестве точного начального состояния $\rho(0)$ регулярную (а не дельтаобразную) функцию, для которой соответствующее космологическое предположение можно сформулировать просто как
$$
\rho_\text{irrel}(t_0) = 0.
$$Поэтому можно ожидать, что и для конечного, но большого $N$ можно указать такое начальное состояние, что $(II)$ будет выполняться достаточно точно (и достаточно долго).

-- 20.04.2018, 03:52 --

Марковское приближение

Проблема с третьим членом предглавного уравнения $(PM)$, что он зависит не только от $\rho_\mu$ в текущий момент времени $t$, но и от всей предистории, то есть он не марковский. Но при определённых условиях он может быть приведён к требуемому виду.

Именно, если существуют два характерных для системы масштаба времени $\tau_0$ и $T$, такие, что $\tau_0 \ll T \ll t_\text{Poincare}$ и
$$
\hat G(\tau) \approx 0, \quad \tau_0 \ll \tau \ll t_\text{Poincare},
$$а $\rho_\mu$ меняется сравнительно медленно, так что
$$
\rho_\mu(t + \Delta t) \approx \rho_\mu(t), \quad \Delta t < T,
$$то
$$
\int\limits_0^{t-t_0} \hat G(\tau) \rho_\mu(t - \tau)\,d \tau \approx \int\limits_0^T \hat G(\tau) \rho_\mu(t - \tau)\,d \tau
\approx \int\limits_0^T \hat G(\tau) \rho_\mu(t)\,d \tau = \left(\int\limits_0^T \hat G(\tau)\,d \tau \right) \rho_\mu(t) =: \hat G_\text{ret} \rho_\mu(t).\eqno{(III)}
$$
($\tau_0$ — это то, что обычно называется временем релаксации. Причины, по которым можно пренебречь $\hat G(\tau)$ на бóльших временах, подробно обсуждаются в книге [1]. Для нас главное, что такое предположение внутренне непротиворечиво.)

-- 20.04.2018, 03:52 --

Главное уравнение

С учётом сделанных предположений и приближений, предглавное уравнение превращается в главное уравнение
$$
\frac {\partial \rho_\mu} {\partial t} = (-i\hat {\mathcal P} \hat L \hat \Gamma + \hat G_\text{ret}) \rho_\mu =: \hat {\mathcal L} \rho_\mu,\eqno{(M)}
$$имеющее требуемый вид $(0)$.

Оператор $\hat {\mathcal L}$ можно найти с помощью эвристических рассуждений, которые были приведены выше. Но в принципе, его также можно получить и из найденной нами формулы. И даже если получить таким образом его явный вид затруднительно, доказать его свойства, такие как несимметричность относительно обращения времени, вполне возможно (хотя лично мне это и не под силу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Больцмана и его свойства
Сообщение20.04.2018, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5638
Насчёт контрпримера. Вот исправленный вариант. Итак, вначале имеем
$$\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| d^2x / dt^2 = 1.$$Предполагаем, что $\frac {dx} {dt} |_{t=t_0} > 0$, тогда при $t > t_0$ имеем $\frac {dx} {dt} > 0$ и $\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| = \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt})$, а значит
$$\operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) d^2x / dt^2 = 1,\quad t > t_0.$$Условие ($t > t_0$) в случае уравнения Больцмана подразумевается (об этом ещё сам Больцман говорил, также смотри приведённый выше вывод). Начальное уравнение (законы динамики) справедливо всегда, а конечное — только при $t > t_0$, но в этой области они совершенно эквивалентны, при том, что первое уравнение симметрично относительно замены $t \to -t$, а последнее — нет.

-- 20.04.2018, 12:53 --

Суть в том, что если начальное состояние удовлетворяет некоторому условию, которое, в отличие от уравнений, несимметрично, и если симметричные уравнения таковы, что (по крайней мере, в течение долгого времени) это условие сохраняется эволюцией, то происходящее эффективно описывается уравнением с нарушенной симметрией.
(В примере условие, нарушающее симметрию и сохраняемое эволюцией, — это $dx/dt > 0$, а в случае с уравнением Больцмана — это $\hat I(|\tau|) \rho_\text{irrel} \approx 0$).

По-моему, это очень простая и ясная идея, и если математика не позволяет её выразить — с математикой что-то не так (но по-моему всё так, просто рассуждение Пуанкаре неприменимо к данной ситуации).

-- 20.04.2018, 13:06 --

Замечу ещё, что приведённый выше вывод — не Больцмана (об этом можно догадаться по названию «оператор Цванцига»). Вывод Больцмана был больше похож на тот, который был выше назван «эвристическим», так что в отношении него критика Пуанкаре была справедлива.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 76 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group