2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теоремы Уитни об аппроксимации
Сообщение20.04.2018, 04:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Под многообразием далее понимается $C^{\infty}$-гладкое хаусдорфово многообразие со второй аксиомой счетности.

Теорема Уитни об аппроксимации для функций утверждает, что всякую непрерывную функцию из гладкого многообразия $M$ в $\mathbb{R}^{k}$ можно $\delta$-приблизить гладкой, где $\delta(\cdot)$ непрерывная положительная функция на $M$.

Теорема Уитни об аппроксимации утверждает, что всякое непрерывное отображение между гладкими многообразиями $M$ и $N$ гомотопно некоторому гладкому отображению.

Вопросы
1. Из гомотопии близость отображений не следует. Так что насколько я понимаю, для случая отображений многообразий близость заполучить, вообще говоря, не получится?

2. Есть ли варианты теоремы Уитни для аппроксимации (вместе со всеми производными) $C^{k}$-гладких отображений отображениями повышенной гладкости (например, $C^{\infty}$)? Интересны оба случая, как в $\mathbb{R}^{k}$, так и в $N$.

Буду благодарен за любую помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы Уитни об аппроксимации
Сообщение20.04.2018, 04:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
demolishka в сообщении #1305791 писал(а):
1. Из гомотопии близость отображений не следует. Так что насколько я понимаю, для случая отображений многообразий близость заполучить, вообще говоря, не получится?


Не следует, но в данном случае можно сделать одновременно гомотопность и близость.

demolishka в сообщении #1305791 писал(а):
2. Есть ли варианты теоремы Уитни для аппроксимации (вместе со всеми производными) $C^{k}$-гладких отображений отображениями повышенной гладкости (например, $C^{\infty}$)? Интересны оба случая, как в $\mathbb{R}^{k}$, так и в $N$.


Да. Насколько я помню, ответы на все вопросы есть в книге Хирша "Дифференциальная топология".

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы Уитни об аппроксимации
Сообщение20.04.2018, 05:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
g______d в сообщении #1305792 писал(а):
Да. Насколько я помню, ответы на все вопросы есть в книге Хирша "Дифференциальная топология".

Ага, теорема 2.6 на стр. 67. Большое спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group