fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теоремы Уитни об аппроксимации
Сообщение20.04.2018, 04:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Под многообразием далее понимается $C^{\infty}$-гладкое хаусдорфово многообразие со второй аксиомой счетности.

Теорема Уитни об аппроксимации для функций утверждает, что всякую непрерывную функцию из гладкого многообразия $M$ в $\mathbb{R}^{k}$ можно $\delta$-приблизить гладкой, где $\delta(\cdot)$ непрерывная положительная функция на $M$.

Теорема Уитни об аппроксимации утверждает, что всякое непрерывное отображение между гладкими многообразиями $M$ и $N$ гомотопно некоторому гладкому отображению.

Вопросы
1. Из гомотопии близость отображений не следует. Так что насколько я понимаю, для случая отображений многообразий близость заполучить, вообще говоря, не получится?

2. Есть ли варианты теоремы Уитни для аппроксимации (вместе со всеми производными) $C^{k}$-гладких отображений отображениями повышенной гладкости (например, $C^{\infty}$)? Интересны оба случая, как в $\mathbb{R}^{k}$, так и в $N$.

Буду благодарен за любую помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы Уитни об аппроксимации
Сообщение20.04.2018, 04:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
demolishka в сообщении #1305791 писал(а):
1. Из гомотопии близость отображений не следует. Так что насколько я понимаю, для случая отображений многообразий близость заполучить, вообще говоря, не получится?


Не следует, но в данном случае можно сделать одновременно гомотопность и близость.

demolishka в сообщении #1305791 писал(а):
2. Есть ли варианты теоремы Уитни для аппроксимации (вместе со всеми производными) $C^{k}$-гладких отображений отображениями повышенной гладкости (например, $C^{\infty}$)? Интересны оба случая, как в $\mathbb{R}^{k}$, так и в $N$.


Да. Насколько я помню, ответы на все вопросы есть в книге Хирша "Дифференциальная топология".

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы Уитни об аппроксимации
Сообщение20.04.2018, 05:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
g______d в сообщении #1305792 писал(а):
Да. Насколько я помню, ответы на все вопросы есть в книге Хирша "Дифференциальная топология".

Ага, теорема 2.6 на стр. 67. Большое спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: worm2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group