Теоремы Уитни об аппроксимации

[demolishka]

Под многообразием далее понимается $C^{\infty}$-гладкое хаусдорфово многообразие со второй аксиомой счетности.

Теорема Уитни об аппроксимации для функций утверждает, что всякую непрерывную функцию из гладкого многообразия $M$ в $\mathbb{R}^{k}$ можно $\delta$-приблизить гладкой, где $\delta(\cdot)$ непрерывная положительная функция на $M$.

Теорема Уитни об аппроксимации утверждает, что всякое непрерывное отображение между гладкими многообразиями $M$ и $N$ гомотопно некоторому гладкому отображению.

Вопросы
1. Из гомотопии близость отображений не следует. Так что насколько я понимаю, для случая отображений многообразий близость заполучить, вообще говоря, не получится?

2. Есть ли варианты теоремы Уитни для аппроксимации (вместе со всеми производными) $C^{k}$-гладких отображений отображениями повышенной гладкости (например, $C^{\infty}$)? Интересны оба случая, как в $\mathbb{R}^{k}$, так и в $N$.

Буду благодарен за любую помощь.

[g______d]

demolishka в сообщении #1305791 писал(а):

1. Из гомотопии близость отображений не следует. Так что насколько я понимаю, для случая отображений многообразий близость заполучить, вообще говоря, не получится?

Не следует, но в данном случае можно сделать одновременно гомотопность и близость.

demolishka в сообщении #1305791 писал(а):

2. Есть ли варианты теоремы Уитни для аппроксимации (вместе со всеми производными) $C^{k}$-гладких отображений отображениями повышенной гладкости (например, $C^{\infty}$)? Интересны оба случая, как в $\mathbb{R}^{k}$, так и в $N$.

Да. Насколько я помню, ответы на все вопросы есть в книге Хирша "Дифференциальная топология".

[demolishka]

g______d в сообщении #1305792 писал(а):

Да. Насколько я помню, ответы на все вопросы есть в книге Хирша "Дифференциальная топология".

Ага, теорема 2.6 на стр. 67. Большое спасибо за помощь.