Уравнение Больцмана и его свойства

[g______d]

Если что, то по микроскопическому выводу уравнения Больцмана довольно много математических работ, см., например, обзор здесь (1987 год)

https://link.springer.com/chapter/10.10 ... 1-2762-9_7

[Munin]

amon в сообщении #1305673 писал(а):

либо операция $\mathfrak{R}$ неоднозначна

Ну и пускай, не вижу в этом трагедии. Это всё же физика. Физики, рисуя свои модели, оглядываются на адекватность эксперименту. Если нужна будет такая операция (адекватная, но неоднозначная), значит, нехай будет такая.

[amon]

Munin в сообщении #1305686 писал(а):

Ну и пускай, не вижу в этом трагедии.

Трагедии нет, но тогда его надо просто постулировать, как уравнение Шредингера, и не мучать детей его выводом. Однако ссылки g______d (спасибо, гляну на досуге, вообще-то я кинетикой не занимаюсь, так из любопытства туда заглядываю) показывают, что попытки вывести кинетику из первых принципов не прекращаются до сих пор.

[Munin]

amon в сообщении #1305688 писал(а):

Трагедии нет, но тогда его надо просто постулировать, как уравнение Шредингера, и не мучать детей его выводом.

Так и УШ надо выводить! Но выводить "физически", с должной долей handwaving-а. Дабы пущай приучаются к методам теорфизики.

[amon]

Munin в сообщении #1305696 писал(а):

выводить "физически", с должной долей handwaving-а.

Это обучательное. Там действительно надо объяснять как народ дошел до жизни такой. А есть еще "мировоззренческое". На микроуровне с чудовищной точностью все обратимо (СРТ, но если С с Р единицы, то во времени), и это проверено экспериментально. На меза (в смысле, к примеру, твердого тела, где квантовая механика по полной, но система большая) и макро уровне все с той же чудовищной степенью необратимо. Одно описывается, скажем, КЭД, а второе - Больцманом с хорошей точностью. Но как от КЭД корректно перейти к Больцману не вытащив по дороге из рукова трение и не подкинув его тайком в завариваемую кашу, по-моему, никто до сих пор не знает.

[Munin]

amon в сообщении #1305704 писал(а):

А есть еще "мировоззренческое".

А, ну тут уж рецептов нет, и разные люди решают это по-разному. Кто-то пытается натянуть  сову на глобус  реальность на математику. Кто-то - наоборот, предпочитает дорабатывать математику напильником, пока она не примет желаемую форму. Кто-то - выбивает золотыми буквами девиз "Заткнись и считай!", и следует ему всю карьеру.

amon в сообщении #1305704 писал(а):

Но как от КЭД корректно перейти к Больцману

Примерно в том же районе где-то проблема измерения КМ порылась...

[g______d]

amon в сообщении #1305688 писал(а):

Однако ссылки g______d (спасибо, гляну на досуге, вообще-то я кинетикой не занимаюсь, так из любопытства туда заглядываю) показывают, что попытки вывести кинетику из первых принципов не прекращаются до сих пор.

Мне кажется, что строго вывести вообще что-то из первых принципов очень сложно, мне не очевидно, что это особенность именно уравнения Больцмана.

[warlock66613]

Вот я беру уравнение, которое переходит в себя при замене $t \to t_0 - t$, $t_0 = \operatorname{const}$:

$$\frac {d^2 x} {dt^2} = 1$$

.
Интегрирую:

$$x = x_0 + v_0 t + t^2 / 2$$

Накладываю условие $x(0) = 0$, получаю

$$x = v_0 t + t^2 / 2$$

.
Делю на $t$, нахожу производную, получаю:

$$\frac {d(x/t)} {dt} = 1/2$$

.
Это уравнение больше не переходит в себя при замене $t \to t_0 - t$, $t_0 = \operatorname{const}$.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1305718 писал(а):

Делю на $t$

Ну так низя, в этом месте теряется T-симметричность.

[warlock66613]

Тогда так. Вот уравнение, симметричное относительно замены $t \to -t$:

$$\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| d^2x / dt^2 = 1.$$

Положим $\frac {dx} {dt} |_{t=0} > 0$, тогда $\frac {dx} {dt} > 0$ и $\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| = \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt})$ (при $t > 0$, но $t = 0$ — это Большой Взрыв, так что меньшие значения нас не интересуют), а значит

$$\operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) d^2x / dt^2 = 1.$$

Это уравнение больше не симметрично относительно замены $t \to -t$. (И — это важно — симметрично относительно временных сдвигов, так что $t$ в нём — это не обязательно время от Большого Взрыва). Аргумент Пуанкаре не работает.

-- 20.04.2018, 01:54 --

И кстати, этот мой пример весьма похож на ситуацию с уравнением Больцмана.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1305726 писал(а):

Это уравнение больше не симметрично относительно замены $t \to -t$.

Конечно, ведь мы сначала объявили, что решаем его при $t>0,$ а потом объявили, что будем решать вместо уравнения

$$\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| d^2x / dt^2 = 1.$$

уравнение

$$\operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) d^2x / dt^2 = 1.$$

которое неинвариантно относительно отражения времени, причем на всей оси.

warlock66613 в сообщении #1305726 писал(а):

И кстати, этот мой пример весьма похож на ситуацию с уравнением Больцмана.

Чистая правда, при выводе уравнения Больцмана подменяют исходные уравнения чем-то Т-неинвариантным, причем делают это изощреннее чем Вы ;)

[warlock66613]

amon в сообщении #1305756 писал(а):

подменяют

"Подменяют" или нет, но аргумент Пуанкаре не работает: из симметричного уравнения можно последовательными манипуляциями получить несимметричное.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1305757 писал(а):

из симметричного уравнения можно последовательными манипуляциями получить несимметричное.

Последовательными манипуляциями - можно. Последовательными математически корректными - нельзя. То, что Вы проделали удивительно похоже на то, что делал Больцман. Если Вашу цепочку действий записать математически, то получится бред:

$$\begin{align} |\operatorname{sign}(x)|F(x)&=F(x)\\ \text{при}\;x>0\;\operatorname{sign}(x)F(x)&=F(x)\\ \text{тогда}\;\operatorname{sign}(x)F(x)&=F(x) \end{align}$$

Что бы "замаскировать" бредовость перехода от второй строки к третьей Вам пришлось прибегать к математически неформализуемым рассуждениям о большом взрыве. Но эти рассуждения не отменяют того, что вторая строка верна только при $x>0,$ и тогда либо $x>0$ и отражения запрещены (исходные уравнения содержат "стрелу времени") либо отражения разрешены и рассуждения неверны. Т.е. "альтернатива Пуанкаре" имеет место.

[warlock66613]

Ну, пока я думаю над тем, как улучшить простой контрпример к утверждению Пуанкаре, предлагаю обратиться к собственно выводу уравнения Больцмана из первых принципов. Вот он.

-- 20.04.2018, 03:50 --

Список литературы

[1] H. Zeh, The Physical basis of the direction of time. 5th edition, 2007.
[2] К. Хуанг, Статистическая механика. Москва, 1966.

Система

Я хочу вкратце рассказать о том, как из обратимых уравнений динамики можно вывести необратимые уравнения, такие как уравнение классической кинетической теории — уравнение Больцмана. Сам способ, о котором я буду рассказывать, и который изложен в книге-обзоре [1], является очень общим — в принципе любое необратимое кинетическое уравнение, классическое или квантовое, выводится этим способом, но я буду излагать его именно в применении к уравнению Больцмана.

Мы будем рассматривать разреженный газ, состоящей из $N$ взаимодействующих частиц («молекул»). Каждая такая частица имеет свой уникальный индекс $n$, положение $\mathbf q_n$ и импульс $\mathbf p_n$. Все молекулы имеют одинаковую массу, которую мы примем за единицу.

Следуя традициям, шестимерное фазовое пространство молекулы будем называть $\mu$-пространством, а $6N$-мерное фазовое пространство системы — $\Gamma$-пространством. Положение системы (то есть совокупность $N$ векторов $\mathbf q_n$ или $3N$ отдельных координат $q_i$) будем обозначать просто $q$, а её импульс (совокупность всех $\mathbf p_n$ или всех $p_i$), соответственно, $p$.

Важно подчеркнуть, что нигде далее не используется понятие квазизамкнутой системы, не предполагается существование квантовой механики, а также не вводится понятие наблюдателя и связанное с ним понятие информации. И, конечно, гамильтониан и состояние системы не считаются неточными/приближёнными.

-- 20.04.2018, 03:51 --

Динамика ансамблей

По причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам потребуется формализм, позволяющий описывать эволюцию не просто одиночной системы, а ансамбля (замкнутых) систем — то есть воображаемой совокупности множества одинаковых (с одним и тем же гамильтонианом) систем, но имеющих разные начальные состояния (разные траектории).

Состояние ансамбля описывается распределением в $\Gamma$-пространстве $\rho(q, p)$. В частности, ансамблю из одной системы, имеющей положение $\xi$ и импульс $\eta$ соответствует дельта-образное распределение

$$\rho_{\text{phys}}(q, p) = \delta^{(3N)}(q - \xi) \delta^{(3N)}(p - \eta). $$

Ансамбли хороши тем, что (так же, как и для одиночной системы) существует замкнутое уравнение, описывающее их эволюцию — уравнение Лиувилля

$$ \frac {\partial \rho} {\partial t} = \{ H, \rho \} =: -i \hat L \rho, $$

где $\{\cdot,\cdot\}$ — скобка Пуанкаре:

$$ \{a, b\} = \sum_{i=1}^{3N} \left( \frac {\partial a} {\partial q_i} \frac {\partial b} {\partial p_i} - \frac {\partial a} {\partial p_i} \frac {\partial b} {\partial q_i} \right) $$

Введя понятие ансамбля, можно (следуя Гиббсу) ввести соответствующее понятие энтропии ансамбля

$$ S_{\Gamma}[\rho] = -\int \rho(q, p) \ln {\rho(q, p)}\,dq\,dp. $$

Однако, при всей своей полезности, энтропия ансамбля не может быть физической энтропией. Во-первых, для реальной системы энтропия экстремальна: $S_{\Gamma}[\rho_{\text{phys}}] = -\infty$. Во-вторых, при эволюции, по теореме Лиувилля, эта энтропия остаётся постоянной.

-- 20.04.2018, 03:51 --

Оператор Цванцига

С фундаментальной точки зрения, статистическая физика — это способ описания и исследования поведения физических систем, основанный на введении так называемой концепции релевантности. Математически концепция релевантности описывается некоторым оператором $\hat P$, действующим на пространстве распределений в $\Gamma$-пространстве. Этот оператор называется оператором Цванцига и, по определению, обладает следующими свойствами:

1. идемпотентностью $\hat P \hat P=\hat P$,
2. «уничтожением информации» $S_\Gamma [\hat P \rho] \geqslant S_\Gamma [\rho]$,
3. сохранением вероятности $\int (\hat P \rho)\,dq\,dp = \int \rho \,dq\,dp$.

Часто также предполагается линейность, но «больцмановский» оператор Цванцига (см. далее) не линеен.

Оператор Цванцига разделяет информацию о состоянии системы (или ансамбля) $\rho(q, p)$ на две части — релевантную

$$ \rho_\text{rel} = \hat P \rho $$

и иррелевантную

$$ \rho_\text{irrel} = (1 - \hat P) \rho. $$

Имея концепцию релевантности в виде оператора Цванцига, мы можем определить физическую энтропию как $S_\Gamma[\rho_\text{rel}] = S_\Gamma[\hat P \rho]$ и строить статистическую физику. Справедливо и обратное: если при рассмотрении какой-то физической задачи возникли статфизические (термодинамическое) понятия и величины — энтропия, температура и т. д., значит подразумевается некоторая определённая концепция релевантности. Это распространяется и на случаи, когда, вроде бы, никакой декларации определённой концепции релевантности не требуется и не производится — например, при вычислении энтропии чёрных дыр и изучении эффекта Унру.

Концепция релевантности, вообще говоря, объективно не мотивирована: исследователь вправе выбирать её по своему усмотрению. Благодаря этому, оператор Цванцига является адекватным формализмом для выражения некоторых метафизических идей, которые невозможно ввести в уравнения напрямую без потери консистентности модели.

Так, идея, что координаты и импульсы имеют некоторые погрешности, явным образом противоречит фреймворку классической механики, но приводит к следующему оператора Цванцига. Разобьём $\Gamma$-пространство на маленькие, но конечные области $\Delta V_m$. Определим линейный оператор Цванцига $\hat P_\text{cg}$, делающий распределение $\rho(q, p)$ «крупнозернистым» (carse-grained) следующим образом:

$$ \hat P_\text{cg} \rho(q,p) = \frac 1 {\Delta V_m} \int_{\Delta V_m} \rho(q', p')\,dq'\,dp' =: \frac {\Delta p_m} {\Delta V_m}, \quad q, p \in \Delta V_m. $$

Или возьмём идею о «наблюдателе», который не знает точное состояние $\rho$, но знает одночастичную функцию распределения

$$ \rho_\mu (\mathbf q, \mathbf p) = \sum_{n=1}^N \int \rho(q, p) \delta^{(3)}(\mathbf q - \mathbf q_n) \delta^{(3)}(\mathbf p - \mathbf p_n)\,dq\,dp =: \hat {\mathcal P}_\mu \rho(q, p). $$

Эту идею также довольно проблематично использовать в буквальном смысле, даже когда такой наблюдатель реально присутствует — ведь в таком случае он активно взаимодействует с системой, так что её нельзя считать замкнутой. Но ничто не мешает определить соответствующий оператор Цванцига $\hat P_\mu$:

$$ \hat P_\mu \rho(q, p) = \prod_{n=1}^N \frac {\rho_\mu (\mathbf q_n, \mathbf p_n)} N =: \hat \Gamma \hat {\mathcal P}_\mu \rho(q, p). $$

Оператор $\hat P_\mu$ не линеен, но $\hat {\mathcal P}_\mu$ линеен, а это почти так же хорошо.

С помощью оператора Цванцига $\hat P_\text{Bolzman} = \hat P_\mu \hat P_\text{cg} =: \hat \Gamma \hat {\mathcal P}$ мы построим мост между обратимой гамильтоновой динамикой и уравнением Больцмана для одночастичной функции распределения $\rho_\mu = \hat {\mathcal P} \rho_\text{phys}$. Но сначала обратимся к тому выводу уравнения Больцмана, который обычно излагается в учебниках.

-- 20.04.2018, 03:51 --

Уравнение Больцмана

Наиболее «фундаментальным» способом вывода уравнения Больцмана является метод обрыва цепочки Боголюбова. Действительно, такой способ позволяет вывести не только кинетическое уравнение Больцмана, но и более точные кинетические уравнения. Однако, для нашей цели, для прослеживания возникновения стрелы времени, нет принципиальной разницы между этими методом и тем, который изложен ниже.

Предположим, что одночастичная функция распределения $\rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p; t)$ подчиняется уравнению вида

$$ \frac {\partial \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p)} {\partial t} = \hat{\mathcal L} \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p),\eqno{(0)} $$

где $\hat{\mathcal L}$ — некоторый оператор на $\mu$-пространстве. Как тогда будет выглядеть $\hat{\mathcal L}$? Это можно установить с помощью следующих эвристических рассуждений (техническая часть вывода взята из [2]).

Можно ожидать, что взаимодействие молекул адекватно описывается относительно простой моделью парных столкновений. В этой модели предполагается, что силы взаимодействия между молекулами короткодействующие, так что взаимодействие между молекулами, находящимися в разных элементах объёма $d^3q$ (которые образованы проектированием ячеек $\Gamma$-пространства $\Delta V_m$) отсутствует, а взаимодействие между молекулами в одном элементе объёма сводится к изменению скоростей сталкивающихся молекул.

Если столкновения между молекулами отсутствуют, то $\hat{\mathcal L} = - \mathbf p \frac {\partial} {\partial \mathbf q},$ а чтобы учесть столкновения, надо добавить количество столкновений $R$ (в единицу времени), в которых одна из молекул после столкновения находится вблизи точки $(\mathbf q, \mathbf p)$ и отнять количество столкновений $\bar R$, в которых одна из молекул находится вблизи этой точки до столкновения:

$$ \frac {\partial \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p)} {\partial t} = - \mathbf p \frac {\partial \rho_\mu} {\partial \mathbf q} + (\bar R - R). $$

Рассмотрим какую-нибудь молекулу в элементе объёма $d^3q$ вблизи $\mathbf q$, скорость которой лежит в пространстве импульсов в элементе $d^3 p$ вблизи $\mathbf p$. В том же самом пространственном объёме имеются молекулы с произвольными импульсами $\mathbf p'$, которые можно рассматривать как пучок частиц, падающих на молекулу, имеющую импульс $\mathbf p$. Плотность потока падающих молекул равна

$$ I = \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p') \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| d^3p'. $$

Число столкновений типа $(\mathbf p, \mathbf p') \to (\bar {\mathbf p}, \bar {\mathbf p}')$, происходящих в элементе объёма $d^3q$, равно

$$ I \sigma(\Omega) d\Omega = \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p') \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| \sigma(\Omega) d\Omega d^3p', $$

где $\sigma(\Omega)$~--- сечение рассеяния, $\Omega$~--- угол между $\mathbf p' - \mathbf p$ и $\bar {\mathbf p}' - \bar {\mathbf p}$. Тогда для $R$ получим следующее выражение:

$$ R = \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p) \int d\Omega \int d^3p' \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p') \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| \sigma(\Omega). $$

Аналогичные рассуждения приводят к выражению для $\bar R$:

$$ \bar R = \int d^3 \bar p' \int d\Omega \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}) \left| \bar {\mathbf p}' - \bar {\mathbf p} \right| \sigma(-\Omega) \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}'). $$

Или, поскольку в соответствии с законами сохранения энергии и импульса $\left| \bar {\mathbf p}' - \bar {\mathbf p} \right| = \left| \mathbf p' - \mathbf p \right|$, $d^3 \bar p\,d^3 \bar p' = d^3p\,d^3p'$ и $\sigma(-\Omega) = \sigma(\Omega)$, то

$$ \bar R = \int d^3 p' \int d\Omega \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}) \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| \sigma(\Omega) \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}'). $$

Объединяя всё, получим кинетическое уравнение Больцмана:

$$ \frac {\partial \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p)} {\partial t} = - \mathbf p \frac {\partial \rho_\mu} {\partial \mathbf q} + \int d\Omega \int d^3p' \left| \mathbf p' - \mathbf p \right| \sigma(\Omega) \left[ \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p) \rho_\mu(\mathbf q, \mathbf p') - \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}) \rho_\mu(\mathbf q, \bar {\mathbf p}') \right] .$$

Возникает вопрос: где же, на каком этапе в этом выводе появилась стрела времени? Есть только одно возможное место: предположение $(0)$ о существовании оператора $\hat {\mathcal L}$, определяющего замкнутую динамику одночастичной функции распределения. Как только сделано такое предположение, из законов движения молекул немедленно следует несимметричное относительно обращения времени выражение для $\hat {\mathcal L}$.

Следовательно, для выяснения деталей возникновения «стрелы времени», надо вывести $(0)$ из обратимой динамики системы.

-- 20.04.2018, 03:51 --

Предглавное уравнение

Итак, мы возвращаемся к уравнению Лиувилля, описывающему (обратимую) динамику системы:

$$ i\frac {\partial \rho} {\partial t} = \hat L \rho,\eqno{(L)} $$

где в интересующем нас случае

$$ \rho(q, p; t) = \rho_{\text{phys}}(q, p; t) = \delta^{(3N)}(q - \xi(t))\, \delta^{(3N)}(p - \eta(t)). $$

Используя «больцмановский» оператор Цванцига $\hat P_\mu$, разобьём $\rho$ на две части — релевантную

$$ \rho_\text{rel} = \hat P_\mu \rho\eqno{(P1)} $$

и иррелевантную

$$ \rho_\text{irrel} = (1 - \hat P_\mu) \rho.\eqno{(P2)}$$

Из $(L)$ и $(P1)$, $(P2)$ получаем систему

$$ \begin{aligned} i \frac {\partial \rho_\text{rel}} {\partial t} & = \hat P \hat L \rho_\text{rel} + \hat P \hat L \rho_\text{irrel}, \\ i \frac {\partial \rho_\text{irrel}} {\partial t} & = (1 - \hat P) \hat L \rho_\text{rel} + (1 - \hat P) \hat L \rho_\text{irrel}. \\ \end{aligned} $$

Второе из этих уравнений можно формально решить, что даёт

$$ \rho_\text{irrrel}(t) = e^{-i (1- \hat P) \hat L (t-t_0)} \rho_\text{irrel}(t_0) - i \int\limits_0^{t-t_0} e^{-i (1 - \hat P) \hat L \tau} (1- \hat P) \hat L \rho_\text{rel}(t - \tau)\,d \tau. $$

Подставляя это в первое уравнение и полагая $\hat P = \hat \Gamma \hat {\mathcal P}_\mu \hat P_\text{cg} =: \hat \Gamma \hat {\mathcal P}$, получим

$$ i \frac {\partial \rho_\text{rel}} {\partial t} = \hat \Gamma \hat {\mathcal P} \hat L \rho_\text{rel} + \hat \Gamma \hat I(t-t_0) \rho_\text{irrel}(t_0) - i \hat \Gamma \int\limits_0^{t-t_0} \hat G(\tau) \hat {\mathcal P} \rho_\text{rel}(t - \tau)\,d \tau, $$

где

$$ \hat G(\tau) = \hat {\mathcal P} \hat L e^{-i (1 - \hat \Gamma \hat {\mathcal P}) \hat L \tau} (1- \hat \Gamma \hat {\mathcal P}) \hat L \hat \Gamma $$

и

$$ \hat I(\tau) = \hat {\mathcal P} \hat L e^{-i (1- \hat \Gamma \hat {\mathcal P}) \hat L \tau}. $$

Домножая слева на $\hat {\mathcal P}_\mu$ и определяя одночастичную функцию распределения как $\rho_\mu = \hat {\mathcal P} \rho$, получим так называемое предглавное уравнение

$$ i \frac {\partial \rho_\mu} {\partial t} = \hat {\mathcal P} \hat L \hat \Gamma \rho_\mu + \hat I(t-t_0) \rho_\text{irrel}(t_0) - i \int\limits_0^{t-t_0} \hat G(\tau) \rho_\mu(t - \tau)\,d \tau.\eqno{(PM)} $$

Предглавное уравнение является точным, и потому не может описывать нарушенную временную симметрию, но оно является первым шагом на пути к главному уравнению (в нашем случае — уравнению Больцмана).

-- 20.04.2018, 03:51 --

Космологическое предположение

Чтобы избавиться от второго члена, необходимо сделать космологическое предположение

$$ \hat I(t-t_0) \rho_\text{irrel}(t_0) \approx 0, \quad 0 < t - t_0 \ll t_\text{Poincare},\eqno{(II)} $$

где $t_\text{Poincare}$ — время возвращения Пуанкаре.

В пользу допустимости такого предположения свидетельствует тот факт, что взяв в качестве ансамбля $N!$ одинаковых систем с переставленными частицами (такая перестановка не отражается на одночастичной функции распределения) и перейдя к термодинамическому пределу $N \to \infty$, мы получим в качестве точного начального состояния $\rho(0)$ регулярную (а не дельтаобразную) функцию, для которой соответствующее космологическое предположение можно сформулировать просто как

$$ \rho_\text{irrel}(t_0) = 0. $$

Поэтому можно ожидать, что и для конечного, но большого $N$ можно указать такое начальное состояние, что $(II)$ будет выполняться достаточно точно (и достаточно долго).

-- 20.04.2018, 03:52 --

Марковское приближение

Проблема с третьим членом предглавного уравнения $(PM)$, что он зависит не только от $\rho_\mu$ в текущий момент времени $t$, но и от всей предистории, то есть он не марковский. Но при определённых условиях он может быть приведён к требуемому виду.

Именно, если существуют два характерных для системы масштаба времени $\tau_0$ и $T$, такие, что $\tau_0 \ll T \ll t_\text{Poincare}$ и

$$ \hat G(\tau) \approx 0, \quad \tau_0 \ll \tau \ll t_\text{Poincare}, $$

а $\rho_\mu$ меняется сравнительно медленно, так что

$$ \rho_\mu(t + \Delta t) \approx \rho_\mu(t), \quad \Delta t < T, $$

то

$$ \int\limits_0^{t-t_0} \hat G(\tau) \rho_\mu(t - \tau)\,d \tau \approx \int\limits_0^T \hat G(\tau) \rho_\mu(t - \tau)\,d \tau \approx \int\limits_0^T \hat G(\tau) \rho_\mu(t)\,d \tau = \left(\int\limits_0^T \hat G(\tau)\,d \tau \right) \rho_\mu(t) =: \hat G_\text{ret} \rho_\mu(t).\eqno{(III)} $$

($\tau_0$ — это то, что обычно называется временем релаксации. Причины, по которым можно пренебречь $\hat G(\tau)$ на бóльших временах, подробно обсуждаются в книге [1]. Для нас главное, что такое предположение внутренне непротиворечиво.)

-- 20.04.2018, 03:52 --

Главное уравнение

С учётом сделанных предположений и приближений, предглавное уравнение превращается в главное уравнение

$$ \frac {\partial \rho_\mu} {\partial t} = (-i\hat {\mathcal P} \hat L \hat \Gamma + \hat G_\text{ret}) \rho_\mu =: \hat {\mathcal L} \rho_\mu,\eqno{(M)} $$

имеющее требуемый вид $(0)$.

Оператор $\hat {\mathcal L}$ можно найти с помощью эвристических рассуждений, которые были приведены выше. Но в принципе, его также можно получить и из найденной нами формулы. И даже если получить таким образом его явный вид затруднительно, доказать его свойства, такие как несимметричность относительно обращения времени, вполне возможно (хотя лично мне это и не под силу).

[warlock66613]

Насчёт контрпримера. Вот исправленный вариант. Итак, вначале имеем

$$\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| d^2x / dt^2 = 1.$$

Предполагаем, что $\frac {dx} {dt} |_{t=t_0} > 0$, тогда при $t > t_0$ имеем $\frac {dx} {dt} > 0$ и $\left| \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) \right| = \operatorname{sign}(\frac {dx} {dt})$, а значит

$$\operatorname{sign}(\frac {dx} {dt}) d^2x / dt^2 = 1,\quad t > t_0.$$

Условие ($t > t_0$) в случае уравнения Больцмана подразумевается (об этом ещё сам Больцман говорил, также смотри приведённый выше вывод). Начальное уравнение (законы динамики) справедливо всегда, а конечное — только при $t > t_0$, но в этой области они совершенно эквивалентны, при том, что первое уравнение симметрично относительно замены $t \to -t$, а последнее — нет.

-- 20.04.2018, 12:53 --

Суть в том, что если начальное состояние удовлетворяет некоторому условию, которое, в отличие от уравнений, несимметрично, и если симметричные уравнения таковы, что (по крайней мере, в течение долгого времени) это условие сохраняется эволюцией, то происходящее эффективно описывается уравнением с нарушенной симметрией.
(В примере условие, нарушающее симметрию и сохраняемое эволюцией, — это $dx/dt > 0$, а в случае с уравнением Больцмана — это $\hat I(|\tau|) \rho_\text{irrel} \approx 0$).

По-моему, это очень простая и ясная идея, и если математика не позволяет её выразить — с математикой что-то не так (но по-моему всё так, просто рассуждение Пуанкаре неприменимо к данной ситуации).

-- 20.04.2018, 13:06 --

Замечу ещё, что приведённый выше вывод — не Больцмана (об этом можно догадаться по названию «оператор Цванцига»). Вывод Больцмана был больше похож на тот, который был выше назван «эвристическим», так что в отношении него критика Пуанкаре была справедлива.