Вычисление нетабличного определенного интеграла

[andrey1955]

Помогите вычислить два очень похожих и довольно простых на первый взгляд определенных интеграла.
Первый интеграл
$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{\infty} x^{0,75}\exp{[-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}]}dx$

Второй интеграл
$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{\infty} \exp{[-(\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}+b\sqrt{x})]}dx$

Подозреваю, что в замкнутой форме решения нет. Поэтому устроит представление результата в виде ряда что-то типа $F_1(x) + F_2(x)+_{...}$.
Найти похожие интегралы в известных мне справочниках не получилось, использование замены $x^{0,75}$ на обычный ${x}$
с переходом на оценки фактического значения позволяет взять интегралы, но дает слишком низкую точность результата, особенно во втором случае.
Все элементарно считается численно, но хотелось бы иметь аналитические выражения.
Допустима, хотя и крайне нежелательна, замена $\exp[-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}]$ на иное похожее выражение (изменение аппроксимации реальной экспериментальной кривой).
Для определенности $a=31$, $\sigma=24$, а $b=2$.
Ограничения $a>0$ и $b>0$ жесткие из-за физического смысла.
Спасибо

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Markiyan Hirnyk]

Математика находит первый интеграл (и второй интеграл для $a=0, b \ge 0$ ) в замкнутой форме. Если вы в этой теме выскажете свое пожелание и многоуважаемые супермодераторы не станут возражать, я приведу ее ответы здесь (Они могут быть интересными и другим участникам форума.).

Полагаю, что для конкретных значений параметров значения этих интегалов целесообразно находить численно, используя математические системы.

[andrey1955]

Я не возражаю, мне это интересно.
Первый интеграл при отличном от нуля $ a $ наверняка можно будет посчитать.

[Markiyan Hirnyk]

Поскольку в течение часа возражений супермодераторов не поступило и не вижу, в чем это нарушает "Правила научного форума" , то на ваш запрос привожу аналитические ответы, сделанные с Математикой,

r = 1/Sqrt[2*Pi]/\[Sigma]* Integrate[x^(3/4)*Exp[-(x - a)^2/2/\[Sigma]^2], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> a \[Element] Reals && \[Sigma] > 0]

$\frac{2 a \Gamma \left(\frac{11}{8}\right) \, _1F_1\left(\frac{1}{8};\frac{3}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)+\sqrt{2} \sigma \Gamma \left(\frac{7}{8}\right) \, _1F_1\left(-\frac{3}{8};\frac{1}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)}{2 \sqrt[8]{2} \sqrt{\pi } \sqrt[4]{\sigma }}$

1/Sqrt[2*Pi]/\[Sigma] * Integrate[Exp[-(x)^2/2/\[Sigma]^2 - b*Sqrt[x]], {x, 0, Infinity},Assumptions -> a \[Element] Reals && \[Sigma] > 0 && b > 0]

$\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} \sigma \, _0F_2\left(;\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{b^4 \sigma ^2}{128}\right)-\frac{1}{6} b \sigma ^{3/2} \left(3\ 2^{3/4} \Gamma \left(\frac{3}{4}\right) \, _0F_2\left(;\frac{1}{2},\frac{5}{4};\frac{b^4 \sigma ^2}{128}\right)-3 b \sqrt{\sigma } \, _1F_3\left(1;\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{3}{2};\frac{b^4 \sigma ^2}{128}\right)+\sqrt[4]{2} b^2 \sigma \Gamma \left(\frac{5}{4}\right) \, _0F_2\left(;\frac{3}{2},\frac{7}{4};\frac{b^4 \sigma ^2}{128}\right)\right)}{\sqrt{2 \pi } \sigma }$
и расчеты с ее применением первого интеграла для указанных вами значений параметров

1/Sqrt[2*Pi]/24*
 NIntegrate[
  x^(3/4)*Exp[-(x - a)^2/2/\[Sigma]^2] /. {a -> 31, \[Sigma] ->  24}, {x, 0, Infinity}]

$12.6951$
и второго интеграла

1/Sqrt[2*Pi]/24*
 NIntegrate[
  Exp[-(x - a)^2/2/\[Sigma]^2 - b*Sqrt[x]] /. {a -> 31, \[Sigma] ->    24, b -> 2}, {x, 0, Infinity}]

$0.00390827,$
а также результат подстановки значений параметров в аналитический ответ

N[r /. {{a -> 31, \[Sigma] -> 24}}]

$\{12.6951\}.$
Видим согласованность в ответах. Если вас интересует асимптотическое поведение рассматриваемых интегралов в зависимости от параметров, то полагаю, что для этого следует применять асимптотические методы анализа, т. к. асимптотика гипергеометрической функции во многих случаях неизвестна.

[andrey1955]

Большое спасибо и сразу же вопросы:
1. Что обозначено через $F$? Про гамму-функцию понимаю, про ф в нашем вузовском курсе ВМ ничего не было.
2. Опишите схему вычислений (идею группировок, подстановок и пр.). Таких зависимостей предполагается несколько и хочется освоить этот процесс для самостоятельного использования в дальнейшем.
3. Что такое Математика? Про маткад знаю, про математику не слышал.
После поступления и переваривания этой информации с Вашего разрешения поспрашиваю немного про асимптотику, если потребность в таковом последует.
Спасибо.

[kotenok gav]

andrey1955 в сообщении #1305577 писал(а):

Что обозначено через $F$?

Гипергеометрическая функция.

andrey1955 в сообщении #1305577 писал(а):

Что такое Математика?

Система компьютерной алгебры (еще есть, к примеру, Maple).

[Vince Diesel]

Во втором интеграле можно выделить экспоненту с $b$, разложить ее в ряд:

$$e^{-b\sqrt x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{b^n x^{n/2}}{n!}$$

и проинтегрировать почленно. Соответствующие слагаемые математика считает и получается

$$ \sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n\frac{2^{\frac{n}{4}-1} b^n \sigma ^{\frac{n}{2}-1} \left(\sqrt{2} a \Gamma \left(\frac{n}{4}+1\right) \, _1F_1\left(\frac{2-n}{4};\frac{3}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)+\sigma \Gamma \left(\frac{n+2}{4}\right) \, _1F_1\left(-\frac{n}{4};\frac{1}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)\right)}{\sqrt{\pi } n!}. $$

При $a=0$ упрощается до

$$ \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^n \frac{2^{\frac{n}{4}-1} b^n \sigma ^{n/2} \Gamma \left(\frac{n+2}{4}\right)}{\sqrt{\pi } n!}. $$

[andrey1955]

Спасибо, становится намного яснее, а с первым, у которого спереди $x^{0,75}$, подскажите, как бороться??

[Vince Diesel]

Ответ, даваемый математикой, вам уже Markiyan Hirnyk написал. Как это доказать, не знаю. Собственно, это того же сорта интеграл

$$ \int\limits_{0}^{\infty} x^{\alpha}\exp{[-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}]}dx= $$ $$ =2^{\frac{\alpha -1}{2}} \sigma ^{\alpha } \left(\sqrt{2} a \Gamma \left(\frac{\alpha }{2}+1\right) \, _1F_1\left(\frac{1-\alpha }{2};\frac{3}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)+\sigma \Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) \, _1F_1\left(-\frac{\alpha }{2};\frac{1}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)\right), $$

что и слагаемые при разложении по степеням $b$ во втором. Тут $\alpha=3/4$, a там $\alpha=n/2$, $n=0,1,\ldots$

[andrey1955]

Спасибо, направление поиска понятно, покумекаю.

[novichok2018]

В справочнике можно найти про последний интеграл, что функции Куммера при таких параметрах выражаются через более простые функции параболического цилиндра D, или функцию Трикоми пси.