2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение13.03.2018, 00:36 


12/03/18
7
Помогите вычислить два очень похожих и довольно простых на первый взгляд определенных интеграла.
Первый интеграл
$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{\infty} x^{0,75}\exp{[-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}]}dx$

Второй интеграл
$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{\infty} \exp{[-(\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}+b\sqrt{x})]}dx$

Подозреваю, что в замкнутой форме решения нет. Поэтому устроит представление результата в виде ряда что-то типа $F_1(x) + F_2(x)+_{...}$.
Найти похожие интегралы в известных мне справочниках не получилось, использование замены $x^{0,75}$ на обычный ${x}$
с переходом на оценки фактического значения позволяет взять интегралы, но дает слишком низкую точность результата, особенно во втором случае.
Все элементарно считается численно, но хотелось бы иметь аналитические выражения.
Допустима, хотя и крайне нежелательна, замена $\exp[-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}]$ на иное похожее выражение (изменение аппроксимации реальной экспериментальной кривой).
Для определенности $a=31$, $\sigma=24$, а $b=2$.
Ограничения $a>0$ и $b>0$ жесткие из-за физического смысла.
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.03.2018, 01:28 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.04.2018, 11:42 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 12:17 


11/07/16
801
Математика находит первый интеграл (и второй интеграл для $a=0, b \ge 0$ ) в замкнутой форме. Если вы в этой теме выскажете свое пожелание и многоуважаемые супермодераторы не станут возражать, я приведу ее ответы здесь (Они могут быть интересными и другим участникам форума.).

Полагаю, что для конкретных значений параметров значения этих интегалов целесообразно находить численно, используя математические системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 13:15 


12/03/18
7
Я не возражаю, мне это интересно.
Первый интеграл при отличном от нуля $ a $ наверняка можно будет посчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 14:23 


11/07/16
801
Поскольку в течение часа возражений супермодераторов не поступило и не вижу, в чем это нарушает "Правила научного форума" , то на ваш запрос привожу аналитические ответы, сделанные с Математикой,
Код:
r = 1/Sqrt[2*Pi]/\[Sigma]* Integrate[x^(3/4)*Exp[-(x - a)^2/2/\[Sigma]^2], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> a \[Element] Reals && \[Sigma] > 0]

$\frac{2 a \Gamma \left(\frac{11}{8}\right) \, _1F_1\left(\frac{1}{8};\frac{3}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)+\sqrt{2} \sigma  \Gamma \left(\frac{7}{8}\right) \, _1F_1\left(-\frac{3}{8};\frac{1}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)}{2 \sqrt[8]{2} \sqrt{\pi } \sqrt[4]{\sigma }}$
Код:
1/Sqrt[2*Pi]/\[Sigma] * Integrate[Exp[-(x)^2/2/\[Sigma]^2 - b*Sqrt[x]], {x, 0, Infinity},Assumptions -> a \[Element] Reals && \[Sigma] > 0 && b > 0]

$\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} \sigma  \, _0F_2\left(;\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{b^4 \sigma ^2}{128}\right)-\frac{1}{6} b \sigma ^{3/2} \left(3\ 2^{3/4} \Gamma \left(\frac{3}{4}\right) \, _0F_2\left(;\frac{1}{2},\frac{5}{4};\frac{b^4 \sigma ^2}{128}\right)-3 b \sqrt{\sigma } \, _1F_3\left(1;\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{3}{2};\frac{b^4 \sigma ^2}{128}\right)+\sqrt[4]{2} b^2 \sigma  \Gamma \left(\frac{5}{4}\right) \, _0F_2\left(;\frac{3}{2},\frac{7}{4};\frac{b^4 \sigma ^2}{128}\right)\right)}{\sqrt{2 \pi } \sigma }$
и расчеты с ее применением первого интеграла для указанных вами значений параметров
Код:
1/Sqrt[2*Pi]/24*
NIntegrate[
  x^(3/4)*Exp[-(x - a)^2/2/\[Sigma]^2] /. {a -> 31, \[Sigma] ->  24}, {x, 0, Infinity}]

$12.6951$
и второго интеграла
Код:
1/Sqrt[2*Pi]/24*
NIntegrate[
  Exp[-(x - a)^2/2/\[Sigma]^2 - b*Sqrt[x]] /. {a -> 31, \[Sigma] ->    24, b -> 2}, {x, 0, Infinity}]

$0.00390827,$
а также результат подстановки значений параметров в аналитический ответ
Код:
N[r /. {{a -> 31, \[Sigma] -> 24}}]

$\{12.6951\}.$
Видим согласованность в ответах. Если вас интересует асимптотическое поведение рассматриваемых интегралов в зависимости от параметров, то полагаю, что для этого следует применять асимптотические методы анализа, т. к. асимптотика гипергеометрической функции во многих случаях неизвестна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 16:18 


12/03/18
7
Большое спасибо и сразу же вопросы:
1. Что обозначено через $F$? Про гамму-функцию понимаю, про ф в нашем вузовском курсе ВМ ничего не было.
2. Опишите схему вычислений (идею группировок, подстановок и пр.). Таких зависимостей предполагается несколько и хочется освоить этот процесс для самостоятельного использования в дальнейшем.
3. Что такое Математика? Про маткад знаю, про математику не слышал.
После поступления и переваривания этой информации с Вашего разрешения поспрашиваю немного про асимптотику, если потребность в таковом последует.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 16:30 


21/05/16
4292
Аделаида
andrey1955 в сообщении #1305577 писал(а):
Что обозначено через $F$?

Гипергеометрическая функция.
andrey1955 в сообщении #1305577 писал(а):
Что такое Математика?

Система компьютерной алгебры (еще есть, к примеру, Maple).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 16:31 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Во втором интеграле можно выделить экспоненту с $b$, разложить ее в ряд:
$$e^{-b\sqrt x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{b^n x^{n/2}}{n!}$$
и проинтегрировать почленно. Соответствующие слагаемые математика считает и получается
$$
\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n\frac{2^{\frac{n}{4}-1} b^n \sigma ^{\frac{n}{2}-1} \left(\sqrt{2} a \Gamma \left(\frac{n}{4}+1\right) \,
   _1F_1\left(\frac{2-n}{4};\frac{3}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)+\sigma  \Gamma \left(\frac{n+2}{4}\right) \,
   _1F_1\left(-\frac{n}{4};\frac{1}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)\right)}{\sqrt{\pi } n!}.
$$
При $a=0$ упрощается до
$$
\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^n \frac{2^{\frac{n}{4}-1} b^n \sigma ^{n/2} \Gamma \left(\frac{n+2}{4}\right)}{\sqrt{\pi } n!}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 16:41 


12/03/18
7
Спасибо, становится намного яснее, а с первым, у которого спереди $x^{0,75}$, подскажите, как бороться??

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 16:53 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Ответ, даваемый математикой, вам уже Markiyan Hirnyk написал. Как это доказать, не знаю. Собственно, это того же сорта интеграл $$
\int\limits_{0}^{\infty} x^{\alpha}\exp{[-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}]}dx=
$$
$$
=2^{\frac{\alpha -1}{2}} \sigma ^{\alpha } \left(\sqrt{2} a \Gamma \left(\frac{\alpha }{2}+1\right) \, _1F_1\left(\frac{1-\alpha }{2};\frac{3}{2};-\frac{a^2}{2
   \sigma ^2}\right)+\sigma  \Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) \, _1F_1\left(-\frac{\alpha }{2};\frac{1}{2};-\frac{a^2}{2 \sigma ^2}\right)\right),
$$ что и слагаемые при разложении по степеням $b$ во втором. Тут $\alpha=3/4$, a там $\alpha=n/2$, $n=0,1,\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 16:58 


12/03/18
7
Спасибо, направление поиска понятно, покумекаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление нетабличного определенного интеграла
Сообщение19.04.2018, 18:21 
Заблокирован


16/04/18

1129
В справочнике можно найти про последний интеграл, что функции Куммера при таких параметрах выражаются через более простые функции параболического цилиндра D, или функцию Трикоми пси.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group