двойственность Стоуна

[beroal]

Помогите разобраться в теме. Например, посоветуйте какую-нибудь понятную литературу. Чтобы читать Джонстона «Stone spaces», нужно знать категорную алгебру. Я читаю его с большим трудом.

[george66]

Попробуйте про фреймы почитать
http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/FRAMES/frames.html
Тема очень близкая, изложение заметно легче, чем у Джонстона.

[george66]

И ещё Викерса, но это попса
http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md ... 5A7EC5EC31

[beroal]

george66 в сообщении #1304085 писал(а):

Попробуйте про фреймы почитать
http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/FRAMES/frames.html
Тема очень близкая, изложение заметно легче, чем у Джонстона.

Спасибо, посмотрю.

[beroal]

Вопрос. Викерс придумал понятие «топологическая система». Это понятие мне понравилось, но не понравилось, что у Викерса локаль есть частный случай топологической системы. Топологическая система содержит больше структуры (а именно, множество точек, отношение удовлетворения (satisfaction)), чем локаль. Это сбивает с толку.

В теореме 5.4.3 на странице 62 он описывает сопряжение функторов из категории топологических систем в категорию локалей Викерса. Можно придумать аналогичное сопряжение функторов между категорией топологических систем и категорией (обычных) локалей?

[george66]

Я не помню, как у Викерса, а сопряжение есть (у Симмонса в статьях про фреймы или где-то у Джонстона). По топологическому пространству строится локаль -- просто решётка всех его открытых подмножеств. По локали строится топологическое пространство -- тут надо понять, какие у него точки. Идея такая: любая точка $a$ любого топологического пространства $A$ разбивает все его открытые подмножества на два класса -- содержащие эту точку и не содержащие. Возьмём решётку (фрейм) из двух элементов $\top$ и $\bot$. Все открытые подмножества, содержащие точку $a$, отобразим в $\top$, а все, не содержащие -- в $\bot$. Получаем гомоморфизм фрейма открытых подмножеств $A$ во фрейм $\{\top,\bot\}$ (или гомоморфизм локалей в обратную сторону). Определим точки произвольной локали как гоморфизмы из $\{\top,\bot\}$ в неё. Это множество точек и будет нужным нам топологическим пространством.

[beroal]

beroal в сообщении #1304375 писал(а):

Можно придумать аналогичное сопряжение функторов между категорией топологических систем и категорией (обычных) локалей?

Вроде бы построил.

Ещё я хотел бы понять, как это сопряжение превращается в эквивалентность категорий. Например: ограниченных дистрибутивных решёток и когерентных топологических пространств (или топологических систем, если можно); локалей и трезвых топологических пространств. У Викерса, к сожалению, вся теория категорий напечатана мелким шрифтом, то есть кратко. Соответствующий раздел 5.5 совершенно философский.

Нашёл ещё писульку ниже с эквивалентностями категорий. Там частные случаи.

Yang, Yilong. Notes for Introduction to Lattice theory. UCLA Department of Mathematics. UCLA, 18 May 2013. Web. 17 Apr. 2018. <http://www.math.ucla.edu/~yy26/works/Lattice%20Talk.pdf>.

[george66]

Есть общий результат. Возьмём любую пару сопряжённых функторов $F\dashv G$
$F\colon K_1\to K_2$
$G\colon K_2\to K_1$
В категории $K_1$ возьмём полную подкатегорию, состоящую из тех объектов $A$, для которых $\eta_A\colon A\to G(F(A))$ является изоморфизмом.
В категории $K_2$ возьмём полную подкатегорию, состоящую из тех объектов $X$, для которых $\varepsilon_X\colon F(G(X))\to X$ является изоморфизмом.
Тогда функторы $F,G$ устанавливают эквивалентность этих подкатегорий.

-- 17.04.2018, 20:37 --

И учебник, учебник читайте
https://github.com/George66/Textbook

[beroal]

george66 в сообщении #1305151 писал(а):

И учебник, учебник читайте

Извините, не нашёл в вашем учебнике этого результата. Как вы доказываете, что область значений $F$ включена в «полную подкатегорию, состоящую из тех объектов $X$, для которых $\varepsilon_X\colon F(G(X))\to X$ является изоморфизмом»? Я вижу только равенство $\varepsilon_{F(A)}\circ F(\eta_A) = \mathrm{id}_{F(A)}$.

[george66]

Этого результата в учебнике нет (не придумал хороших не алгебраических примеров). Область значений $F$ не включена, но если применять $F$ к таким $A$, для которых $\eta_A$ является изоморфизмом, тогда другое дело. Точнее, если $\eta_A$ является изоморфизмом, то $\varepsilon_{F(A)}$ является изоморфизмом. Аналогично, если $\varepsilon_X$ является изоморфизмом для некоторого $X$, то и $\eta_{G(X)}$ является изоморфизмом. Было бы полезно попробовать доказать самому (прочитав главу про сопряжённость).

[beroal]

george66 в сообщении #1305303 писал(а):

Точнее, если $\eta_A$ является изоморфизмом, то $\varepsilon_{F(A)}$ является изоморфизмом.

Я вижу это так. Допустим, $\eta_A$ является изоморфизмом. Тогда существует $\eta'_A$, который есть сечение и ретракция к $\eta_A$. Тогда $F(\eta'_A)$ есть сечение и ретракция к $F(\eta_A)$, потому что любой функтор сохраняет диаграммы. Исходя из моего равенства, $\varepsilon_{F(A)}$ есть ретракция к $F(\eta_A)$. Для любого морфизма $f$, любое сечение к $f$ равно любой ретракции к $f$. Следовательно, $\varepsilon_{F(A)} = F(\eta'_A)$.

[george66]

Да, всё правильно!