2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 двойственность Стоуна
Сообщение13.04.2018, 21:46 
Аватара пользователя


17/04/11
356
Помогите разобраться в теме. Например, посоветуйте какую-нибудь понятную литературу. Чтобы читать Джонстона «Stone spaces», нужно знать категорную алгебру. Я читаю его с большим трудом.

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение14.04.2018, 03:28 
Заслуженный участник


31/12/15
355
Попробуйте про фреймы почитать
http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/FRAMES/frames.html
Тема очень близкая, изложение заметно легче, чем у Джонстона.

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение14.04.2018, 13:58 
Заслуженный участник


31/12/15
355
И ещё Викерса, но это попса
http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md ... 5A7EC5EC31

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение14.04.2018, 15:02 
Аватара пользователя


17/04/11
356
george66 в сообщении #1304085 писал(а):
Попробуйте про фреймы почитать
http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/FRAMES/frames.html
Тема очень близкая, изложение заметно легче, чем у Джонстона.

Спасибо, посмотрю.

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение15.04.2018, 12:53 
Аватара пользователя


17/04/11
356
Вопрос. Викерс придумал понятие «топологическая система». Это понятие мне понравилось, но не понравилось, что у Викерса локаль есть частный случай топологической системы. Топологическая система содержит больше структуры (а именно, множество точек, отношение удовлетворения (satisfaction)), чем локаль. Это сбивает с толку.

В теореме 5.4.3 на странице 62 он описывает сопряжение функторов из категории топологических систем в категорию локалей Викерса. Можно придумать аналогичное сопряжение функторов между категорией топологических систем и категорией (обычных) локалей?

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение15.04.2018, 17:46 
Заслуженный участник


31/12/15
355
Я не помню, как у Викерса, а сопряжение есть (у Симмонса в статьях про фреймы или где-то у Джонстона). По топологическому пространству строится локаль -- просто решётка всех его открытых подмножеств. По локали строится топологическое пространство -- тут надо понять, какие у него точки. Идея такая: любая точка $a$ любого топологического пространства $A$ разбивает все его открытые подмножества на два класса -- содержащие эту точку и не содержащие. Возьмём решётку (фрейм) из двух элементов $\top$ и $\bot$. Все открытые подмножества, содержащие точку $a$, отобразим в $\top$, а все, не содержащие -- в $\bot$. Получаем гомоморфизм фрейма открытых подмножеств $A$ во фрейм $\{\top,\bot\}$ (или гомоморфизм локалей в обратную сторону). Определим точки произвольной локали как гоморфизмы из $\{\top,\bot\}$ в неё. Это множество точек и будет нужным нам топологическим пространством.

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение17.04.2018, 19:30 
Аватара пользователя


17/04/11
356
beroal в сообщении #1304375 писал(а):
Можно придумать аналогичное сопряжение функторов между категорией топологических систем и категорией (обычных) локалей?

Вроде бы построил.

Ещё я хотел бы понять, как это сопряжение превращается в эквивалентность категорий. Например: ограниченных дистрибутивных решёток и когерентных топологических пространств (или топологических систем, если можно); локалей и трезвых топологических пространств. У Викерса, к сожалению, вся теория категорий напечатана мелким шрифтом, то есть кратко. Соответствующий раздел 5.5 совершенно философский.

Нашёл ещё писульку ниже с эквивалентностями категорий. Там частные случаи.

Yang, Yilong. Notes for Introduction to Lattice theory. UCLA Department of Mathematics. UCLA, 18 May 2013. Web. 17 Apr. 2018. <http://www.math.ucla.edu/~yy26/works/Lattice%20Talk.pdf>.

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение17.04.2018, 20:24 
Заслуженный участник


31/12/15
355
Есть общий результат. Возьмём любую пару сопряжённых функторов $F\dashv G$
$F\colon K_1\to K_2$
$G\colon K_2\to K_1$
В категории $K_1$ возьмём полную подкатегорию, состоящую из тех объектов $A$, для которых $\eta_A\colon A\to G(F(A))$ является изоморфизмом.
В категории $K_2$ возьмём полную подкатегорию, состоящую из тех объектов $X$, для которых $\varepsilon_X\colon F(G(X))\to X$ является изоморфизмом.
Тогда функторы $F,G$ устанавливают эквивалентность этих подкатегорий.

-- 17.04.2018, 20:37 --

И учебник, учебник читайте
https://github.com/George66/Textbook

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение18.04.2018, 15:08 
Аватара пользователя


17/04/11
356
george66 в сообщении #1305151 писал(а):
И учебник, учебник читайте

Извините, не нашёл в вашем учебнике этого результата. Как вы доказываете, что область значений $F$ включена в «полную подкатегорию, состоящую из тех объектов $X$, для которых $\varepsilon_X\colon F(G(X))\to X$ является изоморфизмом»? Я вижу только равенство $\varepsilon_{F(A)}\circ F(\eta_A) = \mathrm{id}_{F(A)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение18.04.2018, 15:26 
Заслуженный участник


31/12/15
355
Этого результата в учебнике нет (не придумал хороших не алгебраических примеров). Область значений $F$ не включена, но если применять $F$ к таким $A$, для которых $\eta_A$ является изоморфизмом, тогда другое дело. Точнее, если $\eta_A$ является изоморфизмом, то $\varepsilon_{F(A)}$ является изоморфизмом. Аналогично, если $\varepsilon_X$ является изоморфизмом для некоторого $X$, то и $\eta_{G(X)}$ является изоморфизмом. Было бы полезно попробовать доказать самому (прочитав главу про сопряжённость).

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение18.04.2018, 21:45 
Аватара пользователя


17/04/11
356
george66 в сообщении #1305303 писал(а):
Точнее, если $\eta_A$ является изоморфизмом, то $\varepsilon_{F(A)}$ является изоморфизмом.

Я вижу это так. Допустим, $\eta_A$ является изоморфизмом. Тогда существует $\eta'_A$, который есть сечение и ретракция к $\eta_A$. Тогда $F(\eta'_A)$ есть сечение и ретракция к $F(\eta_A)$, потому что любой функтор сохраняет диаграммы. Исходя из моего равенства, $\varepsilon_{F(A)}$ есть ретракция к $F(\eta_A)$. Для любого морфизма $f$, любое сечение к $f$ равно любой ретракции к $f$. Следовательно, $\varepsilon_{F(A)} = F(\eta'_A)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: двойственность Стоуна
Сообщение18.04.2018, 22:04 
Заслуженный участник


31/12/15
355
Да, всё правильно!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group