умножение в когомологиях Cup-Produkt

[Таня Тайс]

Нужно доказать, что для букета двух сфер $ S^{2}\vee S^{4}$ умножение в когомологиях тривиальное, т.е. достаточно показать, что для образующей $ \alpha \in H^{2}(S^{2}\vee S^{4}, \mathbb{Z})$ выполняется $ \alpha \cup \alpha =0$.

Задача сформулирована во многих книгах, например, у Казаряна в "Теория гомологий" и у Прасолова в "Элементы теории гомологий", но она объявлена "очевидной" и нигде нет решения. Я сижу уже 2-ю неделю, подскажите, пожалуйста, почему это очевидно!?

[tolstopuz]

Таня Тайс писал(а):

т.е. достаточно показать, что для образующей $ \alpha \in H^{2}(S^{2}\vee S^{4}, \mathbb{Z})$ выполняется $ \alpha \cup \alpha =0$

$$\tilde H^*(S^2\vee S^4;\mathbb{Z})\approx\tilde H^*(S^2;\mathbb{Z})\oplus\tilde H^*(S^4;\mathbb{Z})$$

В каждом из слагаемых умножение тривиально. В ненулевых размерностях $H^*$ и $\tilde H^*$ совпадают.

[Таня Тайс]

tolstopuz писал(а):

$$\tilde H^*(S^2\vee S^4;\mathbb{Z})\approx\tilde H^*(S^2;\mathbb{Z})\oplus\tilde H^*(S^4;\mathbb{Z})$$

Hatcher тоже так аргументирует. А откуда взялся этот изоморфизм?

[tolstopuz]

Таня Тайс писал(а):

Hatcher тоже так аргументирует.

Я у него и списал

Таня Тайс писал(а):

А откуда взялся этот изоморфизм?

Третья аксиома теории когомологий - в букете приведенные когомологии умножаются. Доказательство у Хатчера на стр. 202.

[Таня Тайс]

tolstopuz,
огромное спасибо!

А можно ли аргументировать так: $S^{2} $ это ретракт от $S^{2}\vee S^{4}$,
т. е.

$$ S^{2}\hookrightarrow S^{2}\vee S^{4} \rightarrow S^{2}$$

композиция ретракции и включения это identity,

$$ r\circ i = id$$

в группе $H^{2}(S^{2}) $ умножение тривиально, значит, и в $H^{2}(S^{2}\vee S^{4})$ должно быть тривиально.

Это правильно? Спасибо.

З.Ы. И не нужен этот изоморфизм...

[tolstopuz]

Таня Тайс писал(а):

в группе $H^{2}(S^{2}) $ умножение тривиально, значит, и в $H^{2}(S^{2}\vee S^{4})$ должно быть тривиально.

Точка - ретракт любого пространства, значит, умножение тривиально всегда?

[Таня Тайс]

Не подумайте, что мне не нравится первое доказательство, просто я хочу докопаться до правды. Когда мы от

$$ S^{2} \to S^{2}\vee S^{4} \to S^{2} $$

переходим к функтору когомологии

$$ H^{2}(S^{2}, \mathbb{Z}) \to H^{2}(S^{2}\vee S^{4} ,\mathbb{Z}) \to H^{2}(S^{2},\mathbb{Z})$$

,
у нас имеется изоморфизм:

$$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $$

.

С точкой совсем другая картина (там нет изоморфизма).

Мне кажется, этого достаточно...

[tolstopuz]

Таня Тайс писал(а):

Когда мы от

$$ S^{2} \to S^{2}\vee S^{4} \to S^{2} $$

переходим к функтору когомологии

$$ H^{2}(S^{2}, \mathbb{Z}) \to H^{2}(S^{2}\vee S^{4} ,\mathbb{Z}) \to H^{2}(S^{2},\mathbb{Z})$$

,
у нас имеется изоморфизм:

$$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $$

.

А откуда мы знаем в этот момент, что $H^2(S^2\vee S^4,\mathbb{Z})\approx\mathbb{Z}$?

Добавлено спустя 7 минут 5 секунд:

Re: умножение в когомологиях Cup-Produkt

Таня Тайс писал(а):

tolstopuz писал(а):

$$\tilde H^*(S^2\vee S^4;\mathbb{Z})\approx\tilde H^*(S^2;\mathbb{Z})\oplus\tilde H^*(S^4;\mathbb{Z})$$

Hatcher тоже так аргументирует. А откуда взялся этот изоморфизм?

Я тут был неправ - третья аксиома ничего не говорит об умножении, а дает только изоморфизм групп в каждой размерности. Чтобы доказать изоморфизм колец, нужно еще дополнительное рассуждение, как у Хатчера в первом абзаце примера 3.13 на стр.215. Оно похоже на половину вашего рассуждения - $S^2\hookrightarrow S^2\vee S^4$ и $S^4\hookrightarrow S^2\vee S^4$ индуцируют гомоморфизмы колец, являющиеся проекциями произведения.

[Таня Тайс]

tolstopuz писал(а):

А откуда мы знаем в этот момент, что $H^2(S^2\vee S^4,\mathbb{Z})\approx\mathbb{Z}$?

клеточная структура CW-комплекса

$$ S^2\vee S^4= e^{0} \cup e^{2} \cup e^{4}$$

.
Цепной комплекс выглядит так:

$$ \dots \to 0 \to \mathbb{Z} \to 0 \to \mathbb{Z} \to 0 \to \mathbb{Z} \to 0 \to \dots $$

Спасибо Вам за помощь, теперь всё ясно!