2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 умножение в когомологиях Cup-Produkt
Сообщение29.06.2008, 20:06 
Аватара пользователя
Нужно доказать, что для букета двух сфер $ S^{2}\vee S^{4}$ умножение в когомологиях тривиальное, т.е. достаточно показать, что для образующей $ \alpha \in H^{2}(S^{2}\vee S^{4}, \mathbb{Z})$ выполняется $ \alpha \cup \alpha =0$.

Задача сформулирована во многих книгах, например, у Казаряна в "Теория гомологий" и у Прасолова в "Элементы теории гомологий", но она объявлена "очевидной" и нигде нет решения. Я сижу уже 2-ю неделю, подскажите, пожалуйста, почему это очевидно!? :shock:

 
 
 
 Re: умножение в когомологиях Cup-Produkt
Сообщение29.06.2008, 20:29 
Таня Тайс писал(а):
т.е. достаточно показать, что для образующей $ \alpha \in H^{2}(S^{2}\vee S^{4}, \mathbb{Z})$ выполняется $ \alpha \cup \alpha =0$
$$\tilde H^*(S^2\vee S^4;\mathbb{Z})\approx\tilde H^*(S^2;\mathbb{Z})\oplus\tilde H^*(S^4;\mathbb{Z})$$
В каждом из слагаемых умножение тривиально. В ненулевых размерностях $H^*$ и $\tilde H^*$ совпадают.

 
 
 
 Re: умножение в когомологиях Cup-Produkt
Сообщение29.06.2008, 20:41 
Аватара пользователя
tolstopuz писал(а):
$$\tilde H^*(S^2\vee S^4;\mathbb{Z})\approx\tilde H^*(S^2;\mathbb{Z})\oplus\tilde H^*(S^4;\mathbb{Z})$$

Hatcher тоже так аргументирует. А откуда взялся этот изоморфизм?

 
 
 
 Re: умножение в когомологиях Cup-Produkt
Сообщение29.06.2008, 20:50 
Таня Тайс писал(а):
Hatcher тоже так аргументирует.
Я у него и списал :)
Таня Тайс писал(а):
А откуда взялся этот изоморфизм?
Третья аксиома теории когомологий - в букете приведенные когомологии умножаются. Доказательство у Хатчера на стр. 202.

 
 
 
 
Сообщение30.06.2008, 18:54 
Аватара пользователя
tolstopuz,
огромное спасибо! :D

А можно ли аргументировать так: $S^{2} $ это ретракт от $S^{2}\vee S^{4}$,
т. е. $$ S^{2}\hookrightarrow S^{2}\vee S^{4} \rightarrow S^{2}$$
композиция ретракции и включения это identity, $$ r\circ i = id$$
в группе $H^{2}(S^{2}) $ умножение тривиально, значит, и в $H^{2}(S^{2}\vee S^{4})$ должно быть тривиально.

Это правильно? Спасибо.

З.Ы. И не нужен этот изоморфизм...

 
 
 
 
Сообщение30.06.2008, 20:28 
Таня Тайс писал(а):
в группе $H^{2}(S^{2}) $ умножение тривиально, значит, и в $H^{2}(S^{2}\vee S^{4})$ должно быть тривиально.
Точка - ретракт любого пространства, значит, умножение тривиально всегда? :)

 
 
 
 
Сообщение01.07.2008, 19:53 
Аватара пользователя
Не подумайте, что мне не нравится первое доказательство, просто я хочу докопаться до правды. Когда мы от $$ S^{2} \to S^{2}\vee S^{4} \to S^{2} $$
переходим к функтору когомологии $$ H^{2}(S^{2}, \mathbb{Z}) \to H^{2}(S^{2}\vee S^{4} ,\mathbb{Z}) \to       H^{2}(S^{2},\mathbb{Z})$$ ,
у нас имеется изоморфизм: $$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}  $$ .

С точкой совсем другая картина (там нет изоморфизма).

Мне кажется, этого достаточно... :roll:

 
 
 
 
Сообщение02.07.2008, 09:59 
Таня Тайс писал(а):
Когда мы от $$ S^{2} \to S^{2}\vee S^{4} \to S^{2} $$
переходим к функтору когомологии $$ H^{2}(S^{2}, \mathbb{Z}) \to H^{2}(S^{2}\vee S^{4} ,\mathbb{Z}) \to       H^{2}(S^{2},\mathbb{Z})$$ ,
у нас имеется изоморфизм: $$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}  $$ .
А откуда мы знаем в этот момент, что $H^2(S^2\vee S^4,\mathbb{Z})\approx\mathbb{Z}$?

Добавлено спустя 7 минут 5 секунд:

Re: умножение в когомологиях Cup-Produkt

Таня Тайс писал(а):
tolstopuz писал(а):
$$\tilde H^*(S^2\vee S^4;\mathbb{Z})\approx\tilde H^*(S^2;\mathbb{Z})\oplus\tilde H^*(S^4;\mathbb{Z})$$
Hatcher тоже так аргументирует. А откуда взялся этот изоморфизм?
Я тут был неправ - третья аксиома ничего не говорит об умножении, а дает только изоморфизм групп в каждой размерности. Чтобы доказать изоморфизм колец, нужно еще дополнительное рассуждение, как у Хатчера в первом абзаце примера 3.13 на стр.215. Оно похоже на половину вашего рассуждения - $S^2\hookrightarrow S^2\vee S^4$ и $S^4\hookrightarrow S^2\vee S^4$ индуцируют гомоморфизмы колец, являющиеся проекциями произведения.

 
 
 
 
Сообщение02.07.2008, 13:45 
Аватара пользователя
tolstopuz писал(а):
А откуда мы знаем в этот момент, что $H^2(S^2\vee S^4,\mathbb{Z})\approx\mathbb{Z}$?

клеточная структура CW-комплекса $$ S^2\vee S^4= e^{0} \cup e^{2} \cup e^{4}$$.
Цепной комплекс выглядит так:
$$ \dots \to 0 \to \mathbb{Z} \to 0 \to \mathbb{Z} \to 0 \to \mathbb{Z} \to 0 \to \dots $$

Спасибо Вам за помощь, теперь всё ясно! 8-)

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group