Теорема Лиувилля

[MChagall]

$P(z)=z^n+...$ - полином степени $n$ со старшим коэффициентом, равным одному.

[vpb]

MChagall в сообщении #1302592 писал(а):

А вот как без рядов доказать, что это полином? Возможно ли это?

Да, конечно. Это простое утверждение из (действительного) матанализа: если у нас есть функция на интервале, имеющая $k+1$ производную, причем $k+1$-я производная тождественно равна нулю, то функция --- многочлен степени не выше $k$. Можно отсюда вывести нужное утверждение для комплексного случая, а можно и непосредственно доказать.

-- 09.04.2018, 23:15 --

MChagall в сообщении #1302731 писал(а):

И никаких производных не нужно. Вроде, верно?

Да.

-- 09.04.2018, 23:17 --

По последнему пункту. Рассмотрите сначала случай, когда все корни многочлена по модулю больше 1.

[MChagall]

vpb в сообщении #1302847 писал(а):

все корни многочлена по модулю больше 1

$D=[z:\left\lvert z\right\rvert<1]$. Из принципа максимума модуля получается, что $\forall z \in D \left\lvert P(z)\right\rvert<1 \Rightarrow \left\lvert P(0)\right\rvert<1$.
Теперь пусть $P(z)=(z-\alpha_1)...(z-\alpha_n), \left\lvert \alpha_i\right\rvert>1$. Тогда $\left\lvert P(0)\right\rvert=\left\lvert \alpha_1\right\rvert ...\left\lvert \alpha_n\right\rvert>1$. Значит, многочлен с корнями, по модулю большему единицы, не может удовлетворять условию. Так, наверное?
А что с другими многочленами?

[vpb]

Есть такая полезная рациональная функция, называется функция Бляшке. Именно, это функция вида

$$\displaystyle B(z)=B(z,a)=\frac{z-a}{1-\overline az}.$$

При $0<|a|<1$ она имеет один нуль внутри единичного круга и один полюс вовне, а при $|a|>1$ наоборот (а при $|a|=1$ --- постоянная). И, что самое важное, на единичной окружности все ее значения по модулю равны 1.
Нам она, собственно, не нужна, а нужно только заметить, что всегда $|z-a|=|1-\overline az|$ при $|z|=1$. Подумайте, как это использовать, чтобы разобрать общий случай.

[MChagall]

Пусть $P(z)=(z-\alpha_1)...(z-\alpha_m)...(z-\alpha_n)$, где $\left\lvert \alpha_1\right\rvert,..., \left\lvert \alpha_m\right\rvert\leqslant 1, \left\lvert \alpha_{m+1}\right\rvert,..., \left\lvert \alpha_n\right\rvert>1$.
Тогда $\forall z:\left\lvert z\right\rvert=1\Rightarrow \left\lvert P(z)\right\rvert=\left\lvert z-\alpha_1\right\rvert...\left\lvert z-\alpha_n\right\rvert=\left\lvert 1-\overline{\alpha_1}z\right\rvert ...\left\lvert 1-\overline{\alpha_m}z\right\rvert \left\lvert z-\alpha_{m+1}\right\rvert...\left\lvert z-\alpha_n\right\rvert=$$\left\lvert (1-\overline{\alpha_1}z) ...(1-\overline{\alpha_m}z)(z-\alpha_{m+1})...(z-\alpha_n)\right\rvert=\left\lvert Q(z)\right\rvert$.
Докажем, что $\exists z_0 : \left\lvert z_0\right\rvert=1, \left\lvert Q(z_0)\right\rvert>1$.
$Q(z)=(-1)^mz^n+...+(-1)^{n-m}\alpha_{m+1}...\alpha_n$.
$\left\lvert Q(0)\right\rvert=\left\lvert \alpha_{m+1}...\alpha_n\right\rvert\geqslant 1$. По принципу максимума модуля $\exists z_0:\left\lvert z_0\right\rvert=1, Q(z_0)>Q(0)\Rightarrow \left\lvert Q(z_0)\right\rvert>1\Rightarrow \left\lvert P(z_0)\right\rvert>1$.
Получается, что корней, по модулю больших или равных $1$, тоже не может быть. Значит все корни полинома равны $0$.
Верно рассудил? Не забыл ничего?

[MChagall]

Опечатался. Конечно вместо $Q(z)=(-1)^mz^n+...+(-1)^{n-m}\alpha_{m+1}...\alpha_n$ надо
$Q(z)=(-1)^m\alpha_1...\alpha_mz^n+...+(-1)^{n-m}\alpha_{m+1}...\alpha_n$

[vpb]

MChagall в сообщении #1303353 писал(а):

Получается, что корней, по модулю больших или равных $1$, тоже не может быть

Вы доказали, что не может быть корней по модулю больше 1. А про те, которые не более 1, рассуждение неясно. Сформулируйте аккуратно принцип максимума.

[MChagall]

$\left\lvert Q(0)\right\rvert=\left\lvert \alpha_{m+1}...\alpha_n\right\rvert > 1$.
$Q(z)$ голоморфен в $\overline{D}$, значит максимум достигается на границе, то есть на окружности $\left\lvert z\right\rvert=1$. Следовательно $\exists z_0:\left\lvert z_0\right\rvert=1, Q(z_0)>Q(0)\Rightarrow \left\lvert Q(z_0)\right\rvert>1\Rightarrow \left\lvert P(z_0)\right\rvert>1$. Следовательно, корней по модулю меньших или равных единице, тоже нет. Теперь ясное рассуждение?

[vpb]

Так это рассуждение в том случае, когда все корни по модулю не превосходят 1, не работает.

[MChagall]

В этом случае $\forall z:\left\lvert z\right\rvert=1\Rightarrow \left\lvert P(z)\right\rvert=\left\lvert z-\alpha_1\right\rvert...\left\lvert z-\alpha_n\right\rvert=\left\lvert 1-\overline{\alpha_1}z\right\rvert ...\left\lvert 1-\overline{\alpha_n}z\right\rvert=$$\left\lvert (1-\overline{\alpha_1}z) ...(1-\overline{\alpha_n}z)\right\rvert=\left\lvert Q(z)\right\rvert$.
$Q(z)=(-1)^n\alpha_1...\alpha_nz^n+...+1$
$\left\lvert Q(0)\right\rvert=1$
$Q(z)$ голоморфен в $\overline{D}$, значит максимум достигается на границе, то есть на окружности $\left\lvert z\right\rvert=1$. Следовательно $\exists z_0:\left\lvert z_0\right\rvert=1, Q(z_0)>Q(0)\Rightarrow \left\lvert Q(z_0)\right\rvert>1\Rightarrow \left\lvert P(z_0)\right\rvert>1$. Следовательно, корней по модулю меньших или равных единице, тоже нет. Разве не так?

[vpb]

Да, примерно так. Однако у вас много всяких мелких пробелов и т.д. Рекомендую вам еще раз написать доказательство аккуратно и неторопливо с самого начала и до конца, со всеми подробностями. Тогда увидите, где там пробелы еще остались. А то получается, что про $w=z^n$ вы тоже доказали, что у нее нулей нет, типа того. Заодно потренируетесь в аккуратном изложении.