2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разновидность пружинного маятника
Сообщение09.04.2018, 23:27 


15/04/10
985
г.Москва
В курсе теории колебаний читаемого по Ландау-Лифшицу есть такая задача
2 одинаковых груза массы m подвешены в поле силы тяжести на пружинах жесткости $k_1$ на расстоянии $a$ др от др.грузы соединены пружиной жесткости $k_2$. Найти частоты и формы малых колебаний системы. В положении равновесия системы вертикальные пружины параллельны и имеют длину $b$, Система 3-мерна– движение перпендикулярно плоскости рис возможно.
Изображение
Прежде чем решать такую задачу обратимся к задаче о колебаниях пружинного маятника.Термин этот затаскан. Чаще всего под ним понимают просто продольные колебания груза на пружине в направлении пружины. Строгую постановку такой задачи нащел только у Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем
Изображение
Вводя полярные координаты $ r,\varphi$
(полная длина с учетом растяжения $L_s+x$
$L_s$ -длина пружины с учетом статического растяжения от груза
уравнения (нелинейные)полученные им имеют вид
$\ddot{x}+w_r^2 \cdot x=(L_s+x)\dot{\varphi^2}-g(1-\cos \varphi)$
$\ddot{\varphi}+w_t^2 \cdot \sin \varphi=-\frac{1}{L_s}x\ddot{\varphi}-\frac{1}{L_s}\dot{x}\dot{\varphi}$
где $w_r^2=g/L_s , w_t^2=c/m   $
Если линеаризовать уравнения выкинув члены 2 и выше порядка малости получим
$\ddot{x}+w_r^2 \cdot x=0$
$\ddot{\varphi}+w_t^2 \cdot \varphi =0 $
Т е 2 независимые формы малых колебаний с частотами w_r и w_t
Правда при этом теряется эффект неустойчивости исходной системы
В http://elementy.ru/problems/1006/Kolebaniya_pruzhinnogo_mayatnika
предлагается показать что у такого маятника период горизонтальных колебаний всегда больше периода вертикальных.
По моему это неочевидно В терминах задачи это означает условие
$\frac{g}{L_s} <\frac{c}{m}  $ почему?
Возвращаясь к исходной задаче линеаризуем удлинения пружин
$\Delta L_{12} =a_1-a=a[\sqrt{(1+\frac{x_2-x_1}{a})^2 +(\frac{y_2-y_1}{a})^2+(\frac{z_2-z_1}{a})^2} -1] \approx x_2-x_1 $
$F_{12.x}=-k_2 \Delta L_{12} =-k_2(x_2-x_1) $
аналогично $\Delta L_1 \approx -z_1$ $\Delta L_2 \approx -z_2$
И получим систему линеаризованных уравнений
$ m \ddot{x_1}+k_2(x_1-x_2)=0$ $ m \ddot{x_2}+k_2(x_2-x_1)=0 $
$ m \ddot{y_1}+m \frac{g}{b}y_1=0$ $m \ddot{y_2}+m \frac{g}{b}y_2=0 $
$ m \ddot{z_1}+k_1 \cdot z_1=0$ $m \ddot{z_2}+k_1 \cdot z_2=0 $
Получим 4 независимых формы собственных колебаний c частотами
$ w_0=\sqrt{g/b} ,  w_1=\sqrt{k_1/m} $
и пару связанных форм $ w_3=0 , w_4=\sqrt{2k_2/m} $
форма $ w_3=0 $ отвечает колебаниям с одинаковыми углами
$ x_1=x_2 $
форма $ w_4=\sqrt{2k_2/m} $ -встречным колебаниям
$ x_1=-x_2 $
Изображение
Вроде так, с т.зрения малых колебаний, но еще Магнус отмечает что
форма качаний $ r,\varphi  $ (в его терминах) или $y,z$ в наших терминах неустойчивы, вследствие нелинейной связи.
Так ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разновидность пружинного маятника
Сообщение10.04.2018, 03:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11333
Hogtown
eugrita в сообщении #1302846 писал(а):
предлагается показать что у такого маятника период горизонтальных колебаний всегда больше периода вертикальных.
По моему это неочевидно В терминах задачи это означает условие
$\frac{g}{L_s} <\frac{c}{m}$ почему?


Вот допустим, нерастянутая пружина имеет длину $L_0$. Какую длину $L_s$ имеет пружина, растянувшаяся под действием силы тяжести?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group