Разновидность пружинного маятника

[eugrita]

В курсе теории колебаний читаемого по Ландау-Лифшицу есть такая задача
2 одинаковых груза массы m подвешены в поле силы тяжести на пружинах жесткости $k_1$ на расстоянии $a$ др от др.грузы соединены пружиной жесткости $k_2$. Найти частоты и формы малых колебаний системы. В положении равновесия системы вертикальные пружины параллельны и имеют длину $b$, Система 3-мерна– движение перпендикулярно плоскости рис возможно.

Прежде чем решать такую задачу обратимся к задаче о колебаниях пружинного маятника.Термин этот затаскан. Чаще всего под ним понимают просто продольные колебания груза на пружине в направлении пружины. Строгую постановку такой задачи нащел только у Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем

Вводя полярные координаты $ r,\varphi$
(полная длина с учетом растяжения $L_s+x$
$L_s$ -длина пружины с учетом статического растяжения от груза
уравнения (нелинейные)полученные им имеют вид
$\ddot{x}+w_r^2 \cdot x=(L_s+x)\dot{\varphi^2}-g(1-\cos \varphi)$
$\ddot{\varphi}+w_t^2 \cdot \sin \varphi=-\frac{1}{L_s}x\ddot{\varphi}-\frac{1}{L_s}\dot{x}\dot{\varphi}$
где $w_r^2=g/L_s , w_t^2=c/m $
Если линеаризовать уравнения выкинув члены 2 и выше порядка малости получим
$\ddot{x}+w_r^2 \cdot x=0$
$\ddot{\varphi}+w_t^2 \cdot \varphi =0 $
Т е 2 независимые формы малых колебаний с частотами w_r и w_t
Правда при этом теряется эффект неустойчивости исходной системы
В http://elementy.ru/problems/1006/Kolebaniya_pruzhinnogo_mayatnika
предлагается показать что у такого маятника период горизонтальных колебаний всегда больше периода вертикальных.
По моему это неочевидно В терминах задачи это означает условие
$\frac{g}{L_s} <\frac{c}{m} $ почему?
Возвращаясь к исходной задаче линеаризуем удлинения пружин
$\Delta L_{12} =a_1-a=a[\sqrt{(1+\frac{x_2-x_1}{a})^2 +(\frac{y_2-y_1}{a})^2+(\frac{z_2-z_1}{a})^2} -1] \approx x_2-x_1 $
$F_{12.x}=-k_2 \Delta L_{12} =-k_2(x_2-x_1) $
аналогично $\Delta L_1 \approx -z_1$ $\Delta L_2 \approx -z_2$
И получим систему линеаризованных уравнений
$ m \ddot{x_1}+k_2(x_1-x_2)=0$ $ m \ddot{x_2}+k_2(x_2-x_1)=0 $
$ m \ddot{y_1}+m \frac{g}{b}y_1=0$ $m \ddot{y_2}+m \frac{g}{b}y_2=0 $
$ m \ddot{z_1}+k_1 \cdot z_1=0$ $m \ddot{z_2}+k_1 \cdot z_2=0 $
Получим 4 независимых формы собственных колебаний c частотами
$ w_0=\sqrt{g/b} , w_1=\sqrt{k_1/m} $
и пару связанных форм $ w_3=0 , w_4=\sqrt{2k_2/m} $
форма $ w_3=0 $ отвечает колебаниям с одинаковыми углами
$ x_1=x_2 $
форма $ w_4=\sqrt{2k_2/m} $ -встречным колебаниям
$ x_1=-x_2 $

Вроде так, с т.зрения малых колебаний, но еще Магнус отмечает что
форма качаний $ r,\varphi $ (в его терминах) или $y,z$ в наших терминах неустойчивы, вследствие нелинейной связи.
Так ли?

[Red_Herring]

eugrita в сообщении #1302846 писал(а):

предлагается показать что у такого маятника период горизонтальных колебаний всегда больше периода вертикальных.
По моему это неочевидно В терминах задачи это означает условие
$\frac{g}{L_s} <\frac{c}{m}$ почему?

Вот допустим, нерастянутая пружина имеет длину $L_0$. Какую длину $L_s$ имеет пружина, растянувшаяся под действием силы тяжести?